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1625.Re: 整数問題7  
名前:らすかる    日付:2020年12月21日(月) 18時51分
ちなみにp^q=q^p(p>q)の有理数範囲の一般解は
(p,q)=((1+1/n)^(n+1, 1+1/n)^n)
となります。具体値は
(p,q)=(4, 2), (27/8, 9/4), (256/81, 64/27), (3125/1024, 625/256), …

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1624.Re: 整数問題7  
名前:相田俊一    日付:2020年12月21日(月) 15時27分
お手数をかけてすみません。勉強になりました。
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1622.Re: 整数問題7  
名前:blue cat    日付:2020年12月21日(月) 15時22分
なるほど そういう問題のつもりでしたか
ちなみに本題は正の有理数でも無限個の解があります
また,複素数範囲ではランベルトのW関数を用いて表現できます

うーん 無駄に難しい問題を解いてしまったようだ
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1621.Re: 整数問題7  
名前:相田俊一    日付:2020年12月21日(月) 15時7分
式を変形して
p^(q+3)+q^(p+3)=(p^(q-3)+q^(p-3))p3・q3 = p^q・q^3+q^p・p^3
(p^q –q^p)(p^3-q^3)=0となるので
p>qより p^q=q^p これを解いて(p,q)=(4,2)
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1620.Re: 整数問題7  
名前:blue cat    日付:2020年12月21日(月) 14時43分
(p^(q+3)+q^(p+3))/(p^(q-3)+q^(p-3))
が整数という条件だけですべて求めることができるようです
...
ケースワークが面倒なので
本質的だと思われる正の整数の場合でやってみます
ただし次のような より一般的な問題を解くことにします
 
[問題]
{x^(y+3)+y^(x+3)}/{x^(y-3)+y^(x-3)} が整数となるような
正の整数x,yの組をすべて求めよ

[概要]
条件を満たすものは x=y=n (n:任意の正の整数)
そして {x,y}={4.5},{4,6},{6,8} だけであることを示す
まずこれらが実際に解を与えるのは容易い

逆にある正の整数x,y(x<y)に対して
問題の式が整数になっていたとしよう
記述の節約のため x≦6 の範囲では
上記の結果になるしかないことが示せたとする(不等式で証明可)
よって, x≧7 の範囲で考えることにする.

M = x^(y-3) + y^(x-3) とおく
当然 x^(y-3) ≡ -y^(x-3) (mod M)

x^(y+3) + y^(x+3)
= x^6*x^(y-3) + y^(x+3)
≡ y^(x-3)*(y^6 - x^6) (mod M)

よって M ≦ y^(x-3)*(y^6-x^6) がいえる

ここで, M > x^(y-3) だから

x^(y-3) < y^(x-3) * (y^6 - x^6)

k = y-x とおけば

x^(x+k-3) < (x+k)^(x-3) * ((x+k)^6 - x^6)

両辺を x^(x-3) で割れば

x^k< (1+k/x)^x * (1 + k/x)^(-3) * ((x+k)^6 - x^6)

ここで
(1+k/x)^x < exp(k)

(exp(.) は底がネイピア数の指数関数,
いわゆるexponential function です)

および
((x+k)^6 - x^6) < x^5*(k+1)^6

そして
(1 + k/x)^(-3)<1 より

x^k < exp(k) * x^5*(k+1)^6

しからば x^(k-5) < exp(k) * (k+1)^6

x≧7 とあわせて

7^(k-5) < exp(k) * (k+1)^6

これより k≦32 を得る (あとはルーチンなので略)

工夫すれば計算量はずっと少なくなるでしょうが
とりあえず計算機のようなもの使っていいなら
この段階で問題は ほとんど終わりということになります
(実際に計算機でチェックしました)

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1619.Re: 整数問題7  
名前:らすかる    日付:2020年12月21日(月) 13時48分
正数だと解は無数にあるようですが、その全解を
一つのパラメータで表せという問題ですか?

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1618.Re: 整数問題7  
名前:相田俊一    日付:2020年12月21日(月) 12時34分
p、qが自然数であるという限定は不要。p、qは正数で十分でした。。
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1617.整数問題7  
名前:相田俊一    日付:2020年12月21日(月) 12時25分

(p^(q+3)+q^(p+3))/(p^(q-3)+q^(p-3))=p^3・q^3 
(p>q)を満たす自然数p,qを求めよ。
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