(p^(q+3)+q^(p+3))/(p^(q-3)+q^(p-3)) が整数という条件だけですべて求めることができるようです ... ケースワークが面倒なので 本質的だと思われる正の整数の場合でやってみます ただし次のような より一般的な問題を解くことにします [問題] {x^(y+3)+y^(x+3)}/{x^(y-3)+y^(x-3)} が整数となるような 正の整数x,yの組をすべて求めよ
[概要] 条件を満たすものは x=y=n (n:任意の正の整数) そして {x,y}={4.5},{4,6},{6,8} だけであることを示す まずこれらが実際に解を与えるのは容易い
逆にある正の整数x,y(x<y)に対して 問題の式が整数になっていたとしよう 記述の節約のため x≦6 の範囲では 上記の結果になるしかないことが示せたとする(不等式で証明可) よって, x≧7 の範囲で考えることにする.
M = x^(y-3) + y^(x-3) とおく 当然 x^(y-3) ≡ -y^(x-3) (mod M)
x^(y+3) + y^(x+3) = x^6*x^(y-3) + y^(x+3) ≡ y^(x-3)*(y^6 - x^6) (mod M)
よって M ≦ y^(x-3)*(y^6-x^6) がいえる
ここで, M > x^(y-3) だから
x^(y-3) < y^(x-3) * (y^6 - x^6)
k = y-x とおけば
x^(x+k-3) < (x+k)^(x-3) * ((x+k)^6 - x^6)
両辺を x^(x-3) で割れば
x^k< (1+k/x)^x * (1 + k/x)^(-3) * ((x+k)^6 - x^6)
ここで (1+k/x)^x < exp(k)
(exp(.) は底がネイピア数の指数関数, いわゆるexponential function です)
および ((x+k)^6 - x^6) < x^5*(k+1)^6
そして (1 + k/x)^(-3)<1 より
x^k < exp(k) * x^5*(k+1)^6
しからば x^(k-5) < exp(k) * (k+1)^6
x≧7 とあわせて
7^(k-5) < exp(k) * (k+1)^6
これより k≦32 を得る (あとはルーチンなので略)
工夫すれば計算量はずっと少なくなるでしょうが とりあえず計算機のようなもの使っていいなら この段階で問題は ほとんど終わりということになります (実際に計算機でチェックしました)
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