(p^(q+3)+q^(p+3))/(p^(q-3)+q^(p-3))
が整数という条件だけですべて求めることができるようです
...
ケースワークが面倒なので
本質的だと思われる正の整数の場合でやってみます
ただし次のような より一般的な問題を解くことにします
[問題]
{x^(y+3)+y^(x+3)}/{x^(y-3)+y^(x-3)} が整数となるような
正の整数x,yの組をすべて求めよ
[概要]
条件を満たすものは x=y=n (n:任意の正の整数)
そして {x,y}={4.5},{4,6},{6,8} だけであることを示す
まずこれらが実際に解を与えるのは容易い
逆にある正の整数x,y(x＜y)に対して
問題の式が整数になっていたとしよう
記述の節約のため x≦6 の範囲では
上記の結果になるしかないことが示せたとする(不等式で証明可)
よって, x≧7 の範囲で考えることにする.
M = x^(y-3) + y^(x-3) とおく
当然 x^(y-3) ≡ -y^(x-3) (mod M)
x^(y+3) + y^(x+3)
= x^6*x^(y-3) + y^(x+3)
≡ y^(x-3)*(y^6 - x^6) (mod M)
よって M ≦ y^(x-3)*(y^6-x^6) がいえる
ここで, M ＞ x^(y-3) だから
x^(y-3) ＜ y^(x-3) * (y^6 - x^6)
k = y-x とおけば
x^(x+k-3) ＜ (x+k)^(x-3) * ((x+k)^6 - x^6)
両辺を x^(x-3) で割れば
x^k＜ (1+k/x)^x * (1 + k/x)^(-3) * ((x+k)^6 - x^6)
ここで
(1+k/x)^x ＜ exp(k)
(exp(.) は底がネイピア数の指数関数,
いわゆるexponential function です)
および
((x+k)^6 - x^6) ＜ x^5*(k+1)^6
そして
(1 + k/x)^(-3)＜1 より
x^k ＜ exp(k) * x^5*(k+1)^6
しからば x^(k-5) ＜ exp(k) * (k+1)^6
x≧7 とあわせて
7^(k-5) ＜ exp(k) * (k+1)^6
これより k≦32 を得る (あとはルーチンなので略)
工夫すれば計算量はずっと少なくなるでしょうが
とりあえず計算機のようなもの使っていいなら
この段階で問題は ほとんど終わりということになります
(実際に計算機でチェックしました)
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