まず a=b を示します:
aは素数なので 2^a≡2 (mod a)がいえます
よって, 問題の方程式を mod a すると
0≡b^c (mod a) が得られます
bは素数だったので b=a がいえました
a≧13 のときは
2a^3+5a^2+20a+2 ＜ 2^a がいえるので解は発生しない
よって, aは2,3,5,7,11 のいずれかである
A = (2^a-2)/a とおきます
このとき Aは正の整数となります
これを用いると問題の方程式は
2a^2+5a+20=A+5d+a^(c-1) となります
よって,問題は
B:=2a^2+5a+20 - A - a^(c-1) という数が
5の倍数かつ正となるようなa,cを求めることに帰着します
(ちなみにa,cが決まれば d = B/5 から dが決まります)
正かどうかは不等式により判定できますが
5の倍数かどうかは 2a^2≡A+a^(c-1) (mod 5)
が成立するかどうかで判定できます
ここからはaの値によるケースワークですが
いきなり虱潰しするよりはだいぶマシでしょう
・a=2 のとき
A = 1 だから B = 37 - 2^(c-1) となる
B＞0 より c≦6 であり
B≡0(mod 5) より 2≡2^(c-1) (mod 5)
これより c≡2 (mod 4) である
よって c=2, 6 で決まる
c=2のとき B=35, c=6のとき B=5 だから
(c,d)=(2,7),(6,1)
・a=3 のとき
A = 2 だから B = 51 - 3^(c-1) となる
B＞0 より c≦4 であり
B≡0(mod 5)より 3^(c-1)≡1 (mod 5)
よって c=1 で決まる
このとき B=50 だから d=10
つまり (c,d)=(1,10)
・a=5 のとき
A = 6 であるから
B≡0 (mod 5) より
0≡1+a^(c-1) (mod 5)
c≧2 なら 0≡1 で矛盾
c=1 なら 0≡2 で矛盾
よって このケースは解がない
・a=7 のとき
A=18 であるから B = 135 - 7^(c-1)
7^(c-1)は5の倍数になりえないので これは不可能
・a=11 のとき
A=186, B=131 - 11^(c-1)
B＞0 より c≦3 となる.
B≡0(mod 5)より c=1,2,3 はすべて適する
(c,B)=(1,130),(2,120),(3,10) より
(c,d)=(1,26),(2,24),(3,2)
以上をまとめると
求める組は以下の6個で全てである:
(a,b,c,d)=(2,2,2,7),(2,2,6,1),(3,3,1,10),
(11,11,1,26),(11,11,2,24),(11,11,3,2)
125x103x78x129.ap125.ftth.ucom.ne.jp (125.103.78.129)
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