まず a=b を示します: aは素数なので 2^a≡2 (mod a)がいえます よって, 問題の方程式を mod a すると 0≡b^c (mod a) が得られます bは素数だったので b=a がいえました
a≧13 のときは 2a^3+5a^2+20a+2 < 2^a がいえるので解は発生しない
よって, aは2,3,5,7,11 のいずれかである
A = (2^a-2)/a とおきます このとき Aは正の整数となります
これを用いると問題の方程式は 2a^2+5a+20=A+5d+a^(c-1) となります
よって,問題は B:=2a^2+5a+20 - A - a^(c-1) という数が 5の倍数かつ正となるようなa,cを求めることに帰着します (ちなみにa,cが決まれば d = B/5 から dが決まります)
正かどうかは不等式により判定できますが 5の倍数かどうかは 2a^2≡A+a^(c-1) (mod 5) が成立するかどうかで判定できます
ここからはaの値によるケースワークですが いきなり虱潰しするよりはだいぶマシでしょう
・a=2 のとき A = 1 だから B = 37 - 2^(c-1) となる
B>0 より c≦6 であり B≡0(mod 5) より 2≡2^(c-1) (mod 5) これより c≡2 (mod 4) である よって c=2, 6 で決まる c=2のとき B=35, c=6のとき B=5 だから (c,d)=(2,7),(6,1)
・a=3 のとき A = 2 だから B = 51 - 3^(c-1) となる
B>0 より c≦4 であり B≡0(mod 5)より 3^(c-1)≡1 (mod 5) よって c=1 で決まる このとき B=50 だから d=10 つまり (c,d)=(1,10)
・a=5 のとき A = 6 であるから B≡0 (mod 5) より 0≡1+a^(c-1) (mod 5) c≧2 なら 0≡1 で矛盾 c=1 なら 0≡2 で矛盾 よって このケースは解がない
・a=7 のとき A=18 であるから B = 135 - 7^(c-1) 7^(c-1)は5の倍数になりえないので これは不可能
・a=11 のとき A=186, B=131 - 11^(c-1) B>0 より c≦3 となる. B≡0(mod 5)より c=1,2,3 はすべて適する (c,B)=(1,130),(2,120),(3,10) より (c,d)=(1,26),(2,24),(3,2)
以上をまとめると 求める組は以下の6個で全てである:
(a,b,c,d)=(2,2,2,7),(2,2,6,1),(3,3,1,10), (11,11,1,26),(11,11,2,24),(11,11,3,2)
125x103x78x129.ap125.ftth.ucom.ne.jp (125.103.78.129)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.102 Safari/537.36 Edge/18.18363
|
|