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1638.Re: 整数問題  
名前:れまる    日付:2020年12月24日(木) 20時53分
確かにそうですね。ありがとうございました。
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1637.Re: 整数問題  
名前:blue cat    日付:2020年12月24日(木) 19時39分
細かいところは抜きにしてアイデアは正しいでしょう
そのようなアイデアで証明は完遂できます

ケースワークの抜けている箇所があるようです
m⁴=n⁴+k² で gcd(m,n,k)=1 を示した後ですが

n²=2ab
k=a²-b²
m²=a²+b²

の場合を考えていますが

n² = a²-b²
k = 2ab

の場合もありえるでしょう
n² と k には対称性がないので
このケースも考える必要があります

そのあとにも同様の抜けがあるようです
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1636.整数問題  
名前:れまる    日付:2020年12月24日(木) 19時4分
整数m, nに対して、x²+y²とx²-y²がいずれも平方数となるとき、つねにn=0であることの証明

以下で大丈夫でしょうか?

m²+n²とm²-n²が共に平方数となるような正の整数m,nが存在すると仮定。その積m⁴-n⁴も平方数になるはず。
m=nのときは明らかにダメだから、m⁴=n⁴+k²となるようなk>0が存在すると仮定し、この方程式を満たす(m,n,k)のうちnが最小となる組を改めて(m,n,k)と置く。
m,n,kの最大公約数gが2以上だと仮定すると、m⁴=n⁴+k²より(m/g)⁴=(n/g)⁴+(k/g²)²であって左から1,2つ目の( )の中身は整数なので右も整数より、(m/g,n/g,k/g²)はまた上のやつの解になってるがこれはnの最小性に矛盾。つまりm,n,kの最大公約数は1。
ピタゴラス数の性質から正の整数a,b(a>b)が存在して、
n²=2ab@
k=a²-b²
m²=a²+b²A
を満たす。a,bが互いに素でないと仮定するとm,n,kの最大公約数が2以上なるため矛盾するのでa,bは互いに素。
Aより正の整数p,qが存在して、
a=p²-q²B
b=2pqC
m=p²+q²
を満たす。これも上と同様にp,qは互いに素だと分かる。Cを@に代入して、
n²=4apqD
これよりapqは平方数となりp,qは互いに素で、a,pが互いに素でないと仮定すると素数の公約数g'があって、Cよりbもg'の倍数となるためa,bが互いに素であることに矛盾。
よってa,pは互いに素であり、同様にa,qが互いに素であることも示せる。
これよりa,p,qは対ごとに素なので、apqは平方数であったことからa,p,qは全て平方数となるため、正の整数A,P,Qを用いてa=A²,p=P²,q=Q²とおける。
これらをBに代入するとP⁴=Q⁴+A²となるため(P,Q,A)も元のm⁴=n⁴+k²の解となっている。
@n²=2abとa>bから、n=√n²<2aより1/2a<1/nなので、
P≦p≦2pq=b=n²/2a=<n²/n=n
つまりP<nとなるが、これは元の方程式のnの最小性に矛盾。
以上よりm⁴=n⁴+k²を満たす正の整数の組(m,n,k)は存在しないため、m,n,kの少なくとも1つは0と等しいことが分かる。
どれにしてもn=0が示せるので結局m²+n²とm²-n²が共に平方数となるような(m,n)(m,n)=(k,0)(kは任意の整数)のみとなる。
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