問題の方程式がある素数a,b,c,d,eの組に対して成立していたとする.
つまり {2^(a+b-1)+2^(a-1)}c+b=e・c^(d+1)+b^3
まず, b=2 の場合を先に考える
つまり, 5c*2^(a-1) - e*c^(d+1) = 6
明らかに c|6 であるから c∈{2,3} である
c=2 のとき c*2^(a-1) と c^(d+1) は4の倍数だから
6も4の倍数となり矛盾である
c=3 のときは パリティを考えて e=2 がいえるので
5*2^(a-2) = 3^d + 1 を得る.
5|3^d+1 より d=2 を得るから a=3 となる
逆に (a,b,c,d,e)=(3,2,3,2,2) は問題の方程式を満たす
次に b≧3 のときを考える
2^(a+b-1)+2^(a-1) = 2^(a-1)(2^b+1) だが
bが奇数であることから 3|2^b+1 であるので
3|e*c^(d+1) であることがいえる
パリティをみることで 2|e*c^(d+1) もいえる
よって,{c,e}={2,3} であることがいえる
(c,e)=(3,2) のときは
3*2^(a-1)*(2^b+1) - (b^3 - b) = 2*3^(d+1)
であるが 左辺は4の倍数なので 不可能である
よって,(c,e)=(2,3)にならざるをえない
(さらに mod 8 で考えると a≧3 がいえる)
すなわち 2^(a+b)+2^a - 3*2^(d+1) = b^3 - b
ここで d≦a+b-3 を示す.
d≧a+b-2 と仮定し矛盾を導く:
b^3-b＞0 より 2^(a+b)+2^a ＞ 3*2^(d+1)
両辺を 2^a で割って 2^b+1 ＞ 3*2^(d+1-a)
両辺は整数だから 2^b+1 ≧ 3*2^(d+1-a)+1
よって, 2^b ≧ 3*2^(d+1-a) が得られるが
3*2^(d+1-a) ＞ 2^(d+2-a) であることから
b＞d+2-a, すなわち, d＜a+b-2 となり矛盾.
よって, d≦a+b-3 であることがいえた.
d≦a+b-3 であることから
2^(a+b)+2^a - 3*2^(d+1) ≧ 2^(a+b)+2^a-3*2^(a+b-2)
これより 2^(a+b-2)+2^a ≦ b^3 - b を得る
a≧5 のとき,
2^(a+b-2)+2^a ≧ 2^(b+3)+32 だから
b^3-b ≧ 2^(b+3)+32 となり不可能
よって a=3 であることがいえるので,
b^3-b ≧ 2^(b+1)+8 が得られて,
これから b≦7 がいえる
b=7 のとき
3*2^(d+1) = 696 となり不可能
b=5 のとき
3*2^(d+1) = 144 となり不可能
b=3 のとき
3*2^(d+1) = 48 だから d=3
逆に (a,b,c,d,e)=(3,3,2,3,3)は問題の方程式を満たす
以上により求める素数a,b,c,d,eの組は
(a,b,c,d,e)=(3,2,3,2,2),(3,3,2,3,3) に限ることが示された
125x103x78x129.ap125.ftth.ucom.ne.jp (125.103.78.129)
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