問題の方程式がある素数a,b,c,d,eの組に対して成立していたとする. つまり {2^(a+b-1)+2^(a-1)}c+b=e・c^(d+1)+b^3
まず, b=2 の場合を先に考える つまり, 5c*2^(a-1) - e*c^(d+1) = 6 明らかに c|6 であるから c∈{2,3} である c=2 のとき c*2^(a-1) と c^(d+1) は4の倍数だから 6も4の倍数となり矛盾である c=3 のときは パリティを考えて e=2 がいえるので 5*2^(a-2) = 3^d + 1 を得る. 5|3^d+1 より d=2 を得るから a=3 となる 逆に (a,b,c,d,e)=(3,2,3,2,2) は問題の方程式を満たす
次に b≧3 のときを考える
2^(a+b-1)+2^(a-1) = 2^(a-1)(2^b+1) だが bが奇数であることから 3|2^b+1 であるので 3|e*c^(d+1) であることがいえる パリティをみることで 2|e*c^(d+1) もいえる よって,{c,e}={2,3} であることがいえる
(c,e)=(3,2) のときは 3*2^(a-1)*(2^b+1) - (b^3 - b) = 2*3^(d+1) であるが 左辺は4の倍数なので 不可能である
よって,(c,e)=(2,3)にならざるをえない (さらに mod 8 で考えると a≧3 がいえる)
すなわち 2^(a+b)+2^a - 3*2^(d+1) = b^3 - b
ここで d≦a+b-3 を示す. d≧a+b-2 と仮定し矛盾を導く:
b^3-b>0 より 2^(a+b)+2^a > 3*2^(d+1) 両辺を 2^a で割って 2^b+1 > 3*2^(d+1-a) 両辺は整数だから 2^b+1 ≧ 3*2^(d+1-a)+1 よって, 2^b ≧ 3*2^(d+1-a) が得られるが 3*2^(d+1-a) > 2^(d+2-a) であることから b>d+2-a, すなわち, d<a+b-2 となり矛盾. よって, d≦a+b-3 であることがいえた.
d≦a+b-3 であることから 2^(a+b)+2^a - 3*2^(d+1) ≧ 2^(a+b)+2^a-3*2^(a+b-2) これより 2^(a+b-2)+2^a ≦ b^3 - b を得る
a≧5 のとき, 2^(a+b-2)+2^a ≧ 2^(b+3)+32 だから b^3-b ≧ 2^(b+3)+32 となり不可能
よって a=3 であることがいえるので, b^3-b ≧ 2^(b+1)+8 が得られて, これから b≦7 がいえる
b=7 のとき 3*2^(d+1) = 696 となり不可能
b=5 のとき 3*2^(d+1) = 144 となり不可能
b=3 のとき 3*2^(d+1) = 48 だから d=3
逆に (a,b,c,d,e)=(3,3,2,3,3)は問題の方程式を満たす
以上により求める素数a,b,c,d,eの組は (a,b,c,d,e)=(3,2,3,2,2),(3,3,2,3,3) に限ることが示された
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