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172.Re: 立方体の個数  
名前:みお    日付:2019年11月20日(水) 20時25分
らすかるさんご返信ありがとうございます。
傾いたものは一般式では表せないですね。
ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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171.Re: 立方体の個数  
名前:らすかる    日付:2019年11月20日(水) 14時21分
例えば
A(0,3,6),B(2,9,9),C(8,6,11),D(6,0,8),
E(3,5,0),F(5,11,3),G(11,8,5),H(9,2,2)
のような立方体は作れるのですが、
このような立方体が作れるためには
a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2=2(ad+be+cf) かつ
a+b+c≠0かつa+b-c≠0かつa-b+c≠0かつ-a+b+c≠0
のような整数の組(a,b,c,d,e,f)が必要です。
しかし、こういう「傾いた」立方体は
具体的に(プログラムで)数えることはできても、
計算式で表すのは難しいと思います。

# プログラムで具体的に数えるのも
# 結構大変そうな気がします。

というわけなので、「辺が軸と平行でない立方体の個数」を
式で表すのは「できない」ということで。

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170.Re: 立方体の個数  
名前:みお    日付:2019年11月20日(水) 12時24分
らすかるさん返信ありがとうございます。

最初は1辺の長さがkの立方体をx軸とy軸のそれぞれの方向に45°回転して辺の長さを縮めて得られる立方体等が該当するかと思ったのですが、
いざ座標を書き出そうとすると格子点を通らないことがわかりました。

(1,0,0),(2,0,1),(1,0,2),(0,0,2),(1,2,0),(2,2,1),(1,2,2),(0,2,2)のような
立方体ではなくて直方体の場合も考えてみましたが、出来そうになさそうでした。
ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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168.Re: 立方体の個数  
名前:らすかる    日付:2019年11月20日(水) 0時52分
> 辺が軸と平行でないもの
(簡単な)計算式では出せないのでは?
例えばどういう立方体を想定していますか?
辺が軸と平行でない立方体の
8頂点の座標の具体例を一組書いてみて下さい。

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167.立方体の個数  
名前:みお    日付:2019年11月19日(火) 22時13分
座標空間内において、x座標,y座標,z座標がともに整数である点を格子点という。nを自然数とし、座標空間内で0≦x≦n,0≦y≦n,0≦z≦nの範囲に存在する(n+1)^3個の格子点の中から8個取り出してそれらを結んで得られる立方体の個数を求めたいです。

立方体のうち、辺が軸と平行なものの個数は1辺の長さがk(1≦k≦n)の長さのものが(n+1-k)^3個あるので、Σ(n+1-k)^3=(n(n+1)/2)^2個になると思うのですが、辺が軸と平行でないものの個数がわからないです。なんとなくΣk(n+1-k)^3個になりそうなのですが、確証がないです。考え方を教えてください。
(高校 2 年/質問者)

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