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1671．Re: 黄金比

名前：blue cat 日付：2021年1月1日(金) 19時7分

回答のアイデアは良いと思います
つまり「並べ替えを考えて足し合わせる」の部分
このアイデアが一番重要だと私は考えます
なので, その点においてその回答は間違いなく"正解"でしょう

一方で数学的記述の部分で文句を言う人はいるかもしれないです
ちなみに私の立場として「回答はそれで問題ない」です

もし心配なら以下の工夫をすれば文句をいう人は少なくなるでしょう
・eを導入する段階で最初から e=d+1 としておく (無難)
・すべて部分和の議論になおしておく (あまり重要でないが)

とくに学習の進んでない段階ほど気をつかう必要があります
(逆に級数の基本を習得済みの人たちからみると
「回答はこれで問題ない」ということになります)

たとえば級数の並べ替えの議論のときに
「なぜ並べ替えできるの？」という疑問が投げかけられることもありえるでしょう
(今回のケースでは正項級数だから特定の並べ替えで収束するなら任意の並べ替えでも当然収束ということですごくシンプルだが)
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1670．黄金比

名前：れまる 日付：2021年1月1日(金) 17時54分

次の問題に対する回答のチェックをお願いします。

数列{a_n}は正の整数からなる数列で、すべての正の整数nに対してa_i=nを満たすiはちょうどa_n個存在する。実数dが(√(5)-1)/2より大きいとき、a_n < (n^d)/100 を満たすnが存在することを示せ。

e≠0として
(1/(a_n))^eという数列を考えると
この数列はa_n回出現する(1/n)^eからなる。
よって
Σ[k=1→∞](1/(a_k))^e=
Σ[k=1→∞](a_k)(1/k)^eである。
ここで全てのnについてa_n≧(n^d)/100
であると仮定すると
1/a_n≦100/n^dであり
(1/a_n)^e≦100^e/(n^(de))
これを1から足し合わせて
Σ[k=1→∞]k^(d-e)/100≦
Σ[k=1→∞](a_k)(1/k)^e=
Σ[k=1→∞](1/(a_k))^e≦
Σ[k=1→∞]100^e/(k^(de))
これより
Σ[k=1→∞]k^(d-e)≦
Σ[k=1→∞]100^(e+1)/k^(de)
ここでe=d+1とすると
Σ[k=1→∞]100^(d+2)/k^(d^2+d)≧
Σ[k=1→∞]1/k
d^2+d-1>0であるので
d^2+d>1よりd^2+d=s>1とおくと
Σ[k=1→∞]100^(d+2)/k^s≧
Σ[k=1→∞]1/kとなる.
この左辺は収束するが右辺は発散するのでこれは矛盾
よって仮定は誤りであり
a_n<n^d/100となるnが存在する。
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