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1688.Re: 4次関数の問題  
名前:相田俊一    日付:2021年1月5日(火) 18時17分
ありがとうございます。今年もよろしくお願いします。
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1687.Re: 4次関数の問題  
名前:らすかる    日付:2021年1月5日(火) 18時2分
△ABCを△PQCと勘違いしていました。
△ABCなら最小値は存在しますね。
f(x)=a(x^2-s^2)^2,g(x)=√(1-x^2) (a>0)とおくと
f'(x)=4ax(x^2-s^2),g'(x)=-x/√(1-x^2)
0<x<1の範囲でf(x)=g(x)かつf'(x)=g'(x)を解くと
a=1/{16(1-x^2)^(3/2)},t^2=4-3x^2
よって条件を満たす四次関数は
f(x)=(x^2-4+3t^2)^2/{16(1-t^2)^(3/2)}
なので△ABC=(4-3t^2)^(5/2)/{16(1-t^2)^(3/2)}
g(t)=256(△ABC)^2=(4-3t^2)^5/(1-t^2)^3とすると
g'(t)=6t(2t^2-1)(3t^2-4)^4/(1-t^2)^4なので
t^2=1/2のときに最小値をとり、
このとき△ABC=25√5/32、f(x)=(2x^2-5)^2/(16√2)
よって面積の最小値は25√5/32、条件を満たすf(x)はf(x)=±(2x^2-5)^2/(16√2)

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1686.Re: 4次関数の問題  
名前:相田俊一    日付:2021年1月5日(火) 17時4分
2点P、Qは異なるので、接点は(0、1)ではありません。
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1685.Re: 4次関数の問題  
名前:らすかる    日付:2021年1月5日(火) 16時50分
f(x)=((x^2-4)/4)^2のような四次関数を考えると
最小値が存在しないような気がしますが、
解はあるのですか?

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1684.4次関数の問題  
名前:相田俊一    日付:2021年1月5日(火) 11時44分
ある4次関数y=f(x)がx軸に2点A、Bで接し、かつ単位円に2点P、Qで接している。この関数がy軸と交わる点Cと点A、Bの三つの点で作られる三角形ABCの面積が最小になる時、三角形ABCの面積、点P、Qの座標、および4次関数y=f(x)を求めよ。
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