この問題だけならC^1級までの仮定は不要だとおもわれます.
それはともかくも以下は回答例となります.
問題のポイントは x^2f(x)が有界の部分です.
まず以下の補題は問題を解く上の最重要ポイントです.
証明は積分で和を評価すればよいですが
そこらへんも御心配ならお手持ちの参考書をどうぞ.
[補題]
eを1より大きい実数とするとき,
Σ[k=1,∞]1/k^e は収束する.
この補題から とくに
Σ[k=1,∞]1/k^2 が収束することが従います.
この結果を元に比較判定法により証明を構成します.
問題の条件から,すべての実数xに対して,
x^2*|f(x)|＜C を満たす正の実数定数Cが取れる.
とくに |f(x)|＜C/x^2 がすべての実数x≠0で成立する.
問題を解くために xを1つの実数値に固定する.
0≦x+s＜1 を満たす整数sが一意的に存在する.
このとき, -1≦x+s-1＜0 である.
Σ|f(x+k)| の収束を示せば十分である.
よって, 次の2つの級数の収束性を示せばよい.
(1) Σ[k=s+1,∞]|f(x+k)|
(2) Σ[k=-∞,s-2]|f(x+k)|
(1) の収束性は以下のように示せる:
Σ[k=s+1,∞]|f(x+k)|
= Σ[k=1,∞]|f(x+s+k)|
＜Σ[k=1,∞]C/k^2
補題より Σ[k=1,∞]C/k^2 は収束するので
(1)の級数は収束することがいえる
(2)についても同様である.
Σ[k=-∞,s-2]|f(x+k)|
= Σ[k=1,∞]|f(x+s-1-k)|
＜ Σ[k=1,∞]C/k^2
よって, (2)の級数も収束する.
以上より,Σ[k=-∞から∞]f(x+k)は絶対収束することが示された.
(以上の議論は必要ならば部分和をとって議論してください.
そのことが求められていないならば このままで構いません)
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