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1747.Re: 単行イデアルとしての生成元の求め方、既約について  
名前:m    日付:2021年1月21日(木) 23時12分
回答ありがとうございます。なぜ解答と違うのかよく分かりました。
すごく分かりやすかったです。
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1744.Re: 単行イデアルとしての生成元の求め方、既約について  
名前:blue cat    日付:2021年1月20日(水) 11時23分
1について
最大のポイントはQ[x]は単項イデアル整域であることです

I+J = (I,J) の生成元を求めるには
I,Jの生成元同士の最大公約元を求めればいいです
それは明らかに x+1 なので I+J = (x+1) となります
求める生成元は x+1

イデアルの積IJ はそれぞれが単項イデアルなら
生成元同士をかけたものが積の生成元となります
よって IJ = (x)(x(x+1)) = (x^2(x+1))
求める生成元は x^2(x+1) = x^3+x^2

イデアルの共通部分は
それぞれが単項イデアルならば
生成元同士の最小公倍元が求めるものです
よって I∩J = (x(x+1)) となります
求める生成元は x(x+1) = x^2+x

次に 2についてです
もっとも単純な方法は
2次までの既約多項式をすべて列挙する方法です

1次は x, x+1
2次は x^2+x+1

g(x)=x^4+x^3+1が可約だと仮定して矛盾を導く.

g(x)の次数は4 であるから
x,x+1,x^2+x+1のどれかで割り切れる

g(x) = x^3(x+1)+1 と変形できるから
x, x+1 では明らかに割り切れない
(あるいは g(0)=g(1)=1≠0 と因数定理でもOK)

つまり g(x)は1次の既約因子を持たない
よって g(x)は2つの2次の既約因子の積になる
2次の既約因子はx^2+x+1しかないので
g(x) = (x^2+x+1)^2 となるが
右辺を展開すると x^4+x^2+1 となる
これは x^4+x^3+1 と一致しないので矛盾となる
したがって g(x)はF_2上の既約多項式である
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1727.単行イデアルとしての生成元の求め方、既約について  
名前:m    日付:2021年1月17日(日) 16時38分
1、Q[x]のイデアルI=(X+1),J=(X^2+X)に対して、I+J,IJ,I∩Jの単項イデアルとしての生成元を一つ求めよ。

2、2個の元からなる体をF-2とおく。F-2上の一変数多項式環をF-2[x]とする。
g(x)=x^4+x^3+1はF-2[x]において既約であることを示せ。

この2つを教えてくださるとありがたいです。
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