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1812.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年2月2日(火) 20時34分
ありがとうございます。確かに、その区間についてキチンと言及する必要がありました。
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1811.Re: 整数問題12  
名前:blue cat    日付:2021年2月2日(火) 19時7分
>>1809
アイデアは良いとおもうのですけど
いくつかのケースワークが漏れているかも

n≧4 のときですが mの大きさによっては
(m!)/(n!) が 4で割り切れないことがありえます
m≧n+4 のときなら これはそのとおりなのですが
m<n+4 だとそうならないかもしれないです
(例: n=4, m=5 のとき m!/n! = 5)

あと mod 4 より mod 3 のほうが計算量が少なくて済みます
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1809.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年2月2日(火) 16時7分
(問題)
m!+1=(n!-1)^2 を満たす正整数m,nの組を全て求めよ

変形して n!-(m!)/(n!)=2

n≧4の時 mod4で
左辺≡0  右辺≡2
よって n≦3

m=4 n=3
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1743.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月20日(水) 10時49分
すみません。勘違いしていました。
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1741.Re: 整数問題12  
名前:blue cat    日付:2021年1月21日(木) 2時10分
ひょっとして10年前から話は進んだのか?ということで
関連論文をMathSciNetなどで念の為さがしてみたのですが
本質的に進展はないようです(但しabc予想絡みは除く)

はっきりさせておくと次の問題すら解決してないようです:
次の条件を満たす整数定数a≠0 が存在することを示せ

[条件]
ある計算可能定数C(aだけに依存する)が存在して
n! + a^2 = m^2 を満たすような
どのような正の整数m,nの組に対しても
必ず n<C が成立する(あるいは m<C)

要するに具体的な上界が得られるような定数a≠0は
ただの1つも知られていないということです
(つまり方程式が完全に解けるようなa≠0がみつかっていない)
とくに a=3 (つまり a^2=9) のときも当然未解決

ただし「未解決問題であること」の証明は無理です
(これはどの問題にもいえることですが
解けた人がいるけど論文にしていないだけ,とか,
他にも論文の探し方が悪いとか,可能性だけならキリがない)

"婉曲"な表現で悪いですが
「少なくとも私には解けそうにないです」
真意は察してください

以上。

(ちなみにわりかしどうでもいいですが
前の1735をキチンと読んでくれたのなら分かる話ですが
エルが奇数のとき n≦4 に絞られますが
そのときは mod 10 でみる必要はなくmod 4 で十分です
その場合は n=4も排除できてるので 若干有利です
mod 10あるいはmod 5だと n=4の場合が残ってしまう)
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1740.Re: 整数問題12  
名前:blue cat    日付:2021年1月21日(木) 2時8分
私が1735で書いたのは
(1) エルが3以上の奇数のとき解がないことの証明
(2) aを0でない整数定数とするとき
n! + a^2 = m^2 の不定方程式は未解決問題という指摘
(3) とくに n! + 9 = m^2 は未解決問題

もし n! + 9 = m^2 でも解けたのなら論文にする価値はあるでしょう
(もちろんabc予想と独立して ですが)

もう少しつっこんだ話をしましょう :
bを整数定数とするとき
n! + b = m^2 という不定方程式を考えましょう
b=0 のときは例えばベルトランの仮説から n=m=1 だけが解と結論できる

bが平方数でないときは
(b/p) = -1 となる奇素数pが取れるので
n≧p のとき解がないことがいえる
よって, n<p という上界が得られる

bが0でない平方数のときは一気に難問となります
b=1 のときは Brocardの問題という未解決問題
それ以外の0でない平方数については
とくに名前がついていないですが
Brocardと同系列の未解決問題です

ちなみにですが 平方数を4乗数とかに取り換えると
知られている道具だけで解ける問題になったりします
たとえば n! + 1 = m^4 とかですね(難しいが完全に解ける)
ほかにも n! + 9 = m^4 とかも(この場合は簡単に示せる)

最後に関連問題で算数レベルで解ける問題をおいておきます:

(問題)
m!+1=(n!-1)^2 を満たす正整数m,nの組を全て求めよ
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1739.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月20日(水) 9時32分
nが9以上の時、解は存在しません。
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1738.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月20日(水) 9時12分
6!+3^2=27^2
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1737.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月20日(水) 9時5分
もう一度考えてみます。
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1736.Re: 整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月20日(水) 9時4分
nが5以上の時、mod10でlが偶数になり、2に限定されると思います。そのためlの条件を素数にしました。
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1735.Re: 整数問題12  
名前:blue cat    日付:2021年1月20日(水) 8時52分
私の記憶が正しければ
3の指数のエルが 2 のときは未解決問題のはずです
(もちろん"すべて求めよ"という意味において です)
つまり n! + 9 = m^2 は未解決のはず
もっと一般に n! + a^2 = m^2 の形は未解決(aは0でない整数)
(ただしabc予想を用いていいなら話は別でしょう)

エルが2でない場合は問題はかなり簡単です.
ここではエルが3以上の奇数のとき解が存在しないことを示します.

まず n≧4 のときは mod 4 で矛盾を得ます.
よって, nは3以下の正の整数ということになります.

n=1 のときは 3^l = (m+1)(m-1) と変形して
m+1,m-1は同時に3で割り切れないので
m+1,m-1の少なくとも片方は1と一致することがいえる
よって m=2 となるが このとき l=1 で矛盾.

n=2 のときは mod 3 で矛盾

n=3 のときは
3^l + n! は 3でちょうど1回割り切れるので
3^k + n! は平方数になりえません.

証明ここまで.
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1731.整数問題12  
名前:相田俊一    日付:2021年1月19日(火) 13時33分
以下の式を満たす素数l、自然数m、nを求めよ。
3^l=m^2-n!
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