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1756.Re: 有理化のやり方  
名前:m    日付:2021年1月22日(金) 12時35分
すごい回答でびっくりしました。

納得できました。

ありがとうございます。
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1753.Re: 有理化のやり方  
名前:blue cat    日付:2021年1月22日(金) 11時29分
もし a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 になれば
(a+2b+2c)+(a+b+2c)α+(a+b+c)α^2 は 1と一致するので
☆が成立するa,b,cの組を見つけたことになるというロジックです
つまりそうなることが☆が成立することの十分条件ということです
それだけで問題は解いたことになるのですが実際は必要条件にもなるのです.
つまり a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 は実は必要条件でもあるのです
もし その部分が気になる場合は予備知識が必要となってきます

たとえば体論の言葉でいうなら以下のように説明がつきます:
x^3-2はαを根にもつQ上の既約多項式だから
有理数体Qにαを添加して得られるQ(α)は
Q上のベクトル空間として基底{1,α,α^2}を持つ
(いわゆる単拡大定理です)

ということで a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0は必要条件にもなります
もちろん解法で説明したのは前提知識ゼロの解法だけなので
単拡大の定理を用いたこの方法(解法3になります)は省きました.
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1751.Re: 有理化のやり方  
名前:m    日付:2021年1月22日(金) 11時4分
回答ありがとうございます

2つの方法は気がつきませんでした。

もし a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 となるような
という部分ですがなぜ=1、=0、=0のようになるのでしょうか
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1750.Re: 有理化のやり方  
名前:blue cat    日付:2021年1月22日(金) 1時29分
2の3乗根をαとおく.
つまり α=2^(1/3).

問題は 1/(1+α+α^2) を有理化することと等価.
ここでは前提知識の要らない素朴な解法を2つほど挙げておく.

方法[1] (うまく変形する)
分母分子に α-1 を掛け算すれば
(α-1)/(α^3-1) = α-1 (α^3=2を用いた)
よって a = -1, b=1, c=0 とすればよい.

方法[2] (問題文で要求している形を逆に利用する)
1/(1+α+α^2) = a + bα + cα^2 ...(☆)
を満たす有理数a,b,cが取れたとする.
両辺に 1+α+α^2 を掛け算すれば
1 = (a + bα + cα^2)(1 + α + α^2)
右辺を展開し α^3=2 などを用いて成立すると
(a+2b+2c)+(a+b+2c)α+(a+b+c)α^2 となる

もし a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 となるような
有理数a,b,cの組が取れたとすれば
☆が成立することになるので その組は問題文の条件を満たす.
実際に 3つの方程式からなる連立方程式を解けば
a = -1, b=1, c=0 が得られる.
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1749.有理化のやり方  
名前:m    日付:2021年1月22日(金) 0時17分
1/1+3√2+3√4をa+b^3√2+c^3√4 (a,b,cは有理数)にしたいのですがよく分かりませんでした。
1/1+3√2+3√4のルートの前の数字は3√2とかではなくルートの上側についています。つまり2^1/3ということです。

写真の貼り方が分からずみづらくなってしまいました。
このサイトは写真を載せることは不可能なのでしょうか
よろしくお願いします
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