もし a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 になれば (a+2b+2c)+(a+b+2c)α+(a+b+c)α^2 は 1と一致するので ☆が成立するa,b,cの組を見つけたことになるというロジックです つまりそうなることが☆が成立することの十分条件ということです それだけで問題は解いたことになるのですが実際は必要条件にもなるのです. つまり a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0 は実は必要条件でもあるのです もし その部分が気になる場合は予備知識が必要となってきます
たとえば体論の言葉でいうなら以下のように説明がつきます: x^3-2はαを根にもつQ上の既約多項式だから 有理数体Qにαを添加して得られるQ(α)は Q上のベクトル空間として基底{1,α,α^2}を持つ (いわゆる単拡大定理です)
ということで a+2b+2c=1, a+b+2c=0, a+b+c=0は必要条件にもなります もちろん解法で説明したのは前提知識ゼロの解法だけなので 単拡大の定理を用いたこの方法(解法3になります)は省きました.
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