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1762.Re: 場合の数の解法  
名前:PPAP    日付:2021年1月23日(土) 15時10分
そういうことですか。
理解できました。

ご丁寧にありがとうございます。
よく納得できました。
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1760.Re: 場合の数の解法  
名前:blue cat    日付:2021年1月23日(土) 14時58分
領域は常に2分割と考えています.
6人の場合(つまりa[3]を求めるとき)
1番と4番の人がつながるならば
残りは4人となり 分割された領域をX,Yとすると
Xには2番と3番の人がいて
Yには5番と6番の人がいると考えます
つまり残りの4人が2-2と分割されるのです

1番と2番の人がつながるならば
これも同様に残り4人となり,
分割された領域をX,Yとすると
Xには誰もいなくて
Yには3,4,5,6番の人がいると考えます
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1759.Re: 場合の数の解法  
名前:PPAP    日付:2021年1月23日(土) 14時32分
回答ありがとうございます。

例えばn=3のとき

1)i=0のとき
a[0]=a[0]a[2]
=2

2)i=1のとき
a[1]=a[1]a[1]
=1

3)i=2のとき
a[2]=a[2]a[0]
=2

1)+2)+3)
=1+2+2
=5通り

なんとなく理解できるのですが、

1人目の人が2人目の人とつながるとき、
その組み合わせは1通りで
3人目〜6人目の人のつなげ方は
2通り

1人目の人と6人目の人が繋がるときも
上と同じように2通り

問題は1人目の人と4人目の人が繋がるときは
領域はどのように分けられるのでしょうか。

図を書くと1通りと簡単に分かるのですが、

2人と4人の組み合わせだと答えが異なるし
2人と2人と2人の領域に分けると考え方だと
1×1×1=1にはなります。

領域は3等分されるという発想なのでしょうか。
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1758.Re: 場合の数の解法  
名前:blue cat    日付:2021年1月23日(土) 12時21分
2n人での場合の数をa[n]とおきます.
おそらくですが次の漸化式が成立するという意味です:
a[n]=Σ[i=0,n-1]a[i]a[n-i-1] (n≧1)(ただし a[0]=1とする)

この漸化式は以下のような考え方で得られます:
反時計回りに子どもたちに番号をつけます(1,2,..,2n)
1と糸が繋がる可能性があるのは偶奇を考えると
2,4,..,2n の n通りあります. iを1以上n以下の任意の整数とします.
2i番目の人と繋がったとすると 領域が2つに分割されます
片方は a[i]通りのつなげ方があり もう片方はa[n-i-1]通り
よって このケースでのつなげ方は合計a[i]a[n-i-1]通り
iを1からnまで動かして足し合わせ上記の漸化式が得られます.

ちなみにこの漸化式は解くことができて
(たとえば母関数の方法というジェネリックな方法が通用する)
そうすると a[n] = (2n)!/(n!(n+1)!) (いわゆるカタラン数)
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1757.場合の数の解法  
名前:PPAP    日付:2021年1月23日(土) 11時43分
同一円周上の等間隔に並んだこどもたちが、ペアで糸電話をします。
このとき、交差してしまうと、糸が絡まってしまうので、交差しないような相手とペアを組む必要があります。
8人のこどもたちがいた場合、作ることができるペアが何通りあるのか求めてなさい。

という内容の問題ですが、
単純に紙に書いてしらみつぶしにすると

4人の場合→2通り
6人の場合→5通り
8人の場合→14通り

という風に求められました。

ただ、解説には
交差しないということを考えると、「任意の位置で区切り、分けられた領域の中で糸電話をすればよい」と考えられます。このとき、それぞれの領域では人数が偶数である必要があります。
2人の場合は組み合わせが1通りであることは明らかですので、その両側のメンバーの組み合わせを計算し、両側の数をかければ求められます。

上記の方法がどうやるのかイメージがつきません。
具体的な解き方を教えていただけないでしょうか。
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