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1817.Re: 整数問題  
名前:らすかる    日付:2021年2月3日(水) 17時31分
2^m-7≧2からm≧4です。
m≡0(mod2)のとき2^m-7は3の倍数であり、
2^m-7=3にはなりませんので素数ではありません。
m≡1(mod4)のとき2^m-7は5の倍数であり、
2^m-7=5にはなりませんので素数ではありません。
m≡7(mod10)のとき2^m-7は11の倍数であり、
2^m-7=11にはなりませんので素数ではありません。
m≡11(mod12)のとき2^m-7は13の倍数であり、
2^m-7=13にはなりませんので素数ではありません。
残りはm=15,19,31,39,43,51,55,63,75,79,…です。
m=15のとき2^m-7=32761、2^32760≡26789(mod32761)なので
フェルマーの小定理により32761は合成数です。
m=19のとき2^m-7=524281、2^524280≡155548(mod524281)なので
フェルマーの小定理により524281は合成数です。
m=31のとき2^m-7=2147483641、2^2147483640≡929094690(mod2147483641)なので
フェルマーの小定理により2147483641は合成数です。
よって2^m-7はm≦38では素数ではありません。

後半は手作業では大変ですが、出来ないことはありません。
例えばmod32761で2^32760を求めるには(以下すべてmod32761)
32760=2^3×(2^11+2^10+2^9+…+2^0)
2^15=32768≡7
2^30≡7^2=49
2^31≡98
2^62≡98^2=9604
2^63≡19208
2^126≡19208^2=368947264≡25643
2^127≡51286≡18525
2^254≡18525^2=343175625≡4150
2^255≡8300
2^510≡8300^2=68890000≡26378
2^511≡52756≡19995
2^1022≡19995^2=399800025≡17542
2^1023≡35084≡2323
2^2046≡2323^2=5396329≡23525
2^2047≡47050≡14289
2^4094≡14289^2=204175521≡8969
2^4095≡17938
2^8190≡17938^2=321771844≡26063
2^16380≡26063^2=679279969≡13395
2^32760≡13395^2=179426025≡26789
今の時代、この程度の計算も手計算ではやりたくないですが、
昔の人はこのくらいはやったでしょうね。

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1815.Re: 整数問題  
名前:玉虫    日付:2021年2月3日(水) 13時13分
m≦38のとき2^m-7は素数にならない
はどのように示すのでしょうか?
それが素数であることは、確かに人力では無理ですね。これは認めます。
さしあたって本質的な疑問は、mが38以下のとき素数にならないという主張でした。
私は元の質問にもあるように、mが4K+3で表されるときという粗い評価
しかできないと思っていました。
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1814.Re: 整数問題  
名前:らすかる    日付:2021年2月3日(水) 9時36分
「m≦38のとき2^m-7は素数にならない」ことまでは計算機を使わずに示せますが、
「m=39のときの2^m-7=549755813881が素数である」ことを計算機を使わずに示すのは困難では?
リュカテストのように「2^m-7型の数の素数判定」という理論を作る問題でしょうか。

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1813.整数問題  
名前:玉虫    日付:2021年2月3日(水) 7時26分
2^{m}ー7 が素数となるような最小の整数mって
計算機を使わずに示せますか?
m=39 だろうと予想していて、mの必要十分条件は
自然数kを用いて m=4k+3 となることともわかっています。
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