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1834.Re: (4444)^(4444) の各位の和  
名前:7610    日付:2021年2月7日(日) 10時14分
 丁寧な回答まことにありがとうございました。よくわかりました。
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1833.Re: (4444)^(4444) の各位の和  
名前:らすかる    日付:2021年2月7日(日) 9時45分
例えば5678という数の各位の数字の和をとると
5+6+7+8=26
その結果の各位の数字の和をとると
2+6=8
これ以上は「各位の数字の和」をとっても8のまま変わりません。
よって「各位の数字の和をとる」という作業を繰り返すと
最終的に1〜9の9通りの値になります。
mod 9ではこの9通りのどれになるかを判断できますが、
mod 3では判断できません。だからmod 3ではダメなのです。

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1832.Re: (4444)^(4444) の各位の和  
名前:7610    日付:2021年2月7日(日) 9時29分
回答ありがとうございます。

  数字の和をとる作業を「1桁」まで繰り返す。

 このことをもう少し詳細に説明していただけるとありがたいのですが。
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1831.Re: (4444)^(4444) の各位の和  
名前:らすかる    日付:2021年2月7日(日) 8時54分
数字の和をとる作業を1桁まで繰り返したときに1〜9の9通りだからです。
計算結果がB≡1(mod 3)かつ値が12以下となった場合、答えは
「1と10」ではなく「1か4か7か10」です。
この中に正解の7は含まれていますが、答えが絞れていません。
なお、mod 9でも最終的な答えが1桁にならなければ「7か16」のような
答えになる可能性がありますが、問題は「Bの各位の和を求めよ」
ですから答えは唯一であり、「7か16」では答えになりません。
よって問題はmod 9で計算すれば唯一に絞れるように作ってあるわけです。

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1830.(4444)^(4444) の各位の和  
名前:7610    日付:2021年2月7日(日) 4時28分
(4444)^(4444) の各位の和を A、A の各位の和を B とするとき、B の各位の和を求めよ。

 自然数 n を 9 で割ったときの剰余と n の各位の数の総和を 9 で割ったときの剰余は一致するので
  4444 ≡ 7(mod 9)
  16 ≡ 7(mod 9)
を利用すればこの問題は解けると思いますが、n を 3 で割ったときも同様ですので
  4444 ≡ 1(mod 3)
  16 ≡ 1(mod 3).
で解けるかと思ったのですが、9 の場合とは答えが異なります。mod 3 でダメなのはなぜですか。

  4444 < 10^4
より
  4444^4444 < (10^4)^444 = 10^17776.
 つまり 4444^4444 の桁数は 17776 桁未満である。各桁は 0 から 9 なので、桁数 k がわかると各位の和は 9k 未満となる。すなわち
  A < 17776*9 = 159984
となるが、159984 未満の各位の和の最大値を求めるのは面倒なので、もっと大ざっぱに評価して
  A < 17776*9 < 17776*10 < 180000
とすれば、A の 6 桁目(左端の数)は 1 か 0 なので
  B ≦ 5*9 + 1 = 46.
 1 から 46 までの整数の中で、各位の数の和の最大値は 39 であり、39の各位の数の和は 12 であるから、B の各位の和は 12 以下となる。12 以下の整数で
  B ≡ 7 (mod 9)
を満たす B の各位の和は 7 である。

 mod 3 の場合
  B ≡ 1 (mod 3)
を満たす B の各位の和は 1 と10 である??
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