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1872.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月17日(水) 20時8分
どうもありがとうございます。
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1871.Re: 素数問題17  
名前:らすかる    日付:2021年2月17日(水) 19時55分
問題なさそうです。
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1870.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月17日(水) 19時5分
a^p・b^q+ab=pq・a^(p-2)・b^(q-2)+6{a^(p-1)+b^(q-1)}



(p,q)=(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)それぞれの場合を考える。

a=bの時  a^(p+q)+a^2=pq・a^(p+q-4)+6{a^(p-1)+a^(q-1)}

(p,q)=(2,2)の場合    a^4+a^2=4+12a 不適

(p,q)=(2,3),(3,2)の場合 a^5+a^2=6a+6(a+a^2)

a^5-5a^2=12a 不適

(p,q)=(3,3)の場合   
a^6+a^2=9a^2+12a^2 

a^6=20a^2 不適

a≠bの時

(p,q)=(2,2)の場合 a^2b^2+ab=4+6(a+b) 不適

(p,q)=(2,3),(3,2)の場合

それぞれ a^2b^3+ab=ab(ab^2+1)=6(a+b+b^2) 不適

a^3b^2+ab=ab(a^2b+1)=6(a+b+a^2) 不適

(p,q)=(3,3)の場合 a^3b^3+ab=9ab+6(a^2+b^2)

ab(a^2b^2-8)=6(a^2+b^2) 不適



p≧4かつq≧4の場合

ab{a^(p-1)・b^(q-1)+1-pq・a^(p-3)・b^(q-3)}= 6{a^(p-1)+b^(q-1)}

a,bが素数、右辺は6の倍数なので

(a,b)=(2,3)または(3,2)

(a,b)=(2,3)とすると

6{2^(p-1)・3^(q-1)+1-pq・2^(p-3)・3^(q-3)}= 6{2^(p-1)+3^(q-1)}

2^(p-1)・3^(q-1)-2^(p-1)-3^(q-1)+1=pq・2^(p-3)・3^(q-3)

(2^(p-1)-1)(3^(q-1)-1)= pq・2^(p-3)・3^(q-3)

p,qは素数なのでフェルマーの小定理より

p・3^(q-3)=2^(p-1)-1・・・@

q・2^(p-3)=3^(q-1)-1・・・A

@からAをひいて変形すると

3^(q-3)(p+3^2)=2^(p-3)(q+2^2)

したがって

2^(p-3)=p+3^2   より  p=7

3^(q-3)=q+2^2   より q=5



答え (a,b,p,q)=(2,3,7,5)または(3,2,5,7)


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1869.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月17日(水) 18時22分
これでは通じませんね。すみません。
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1868.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月17日(水) 18時21分
二乗の文字が、大きくなってしましました。
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1867.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月17日(水) 8時35分
この考え方で合ってますか?


以下の式を満たす素数a,b,p,qを求めよ。

ap・bq+ab=pq・a(p-2)・b(q-2)+6{a(p-1)+b(q-1)}

 

(p,q)=(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)それぞれの場合を考える。

a=bの時  ap+q+a2=pq・a(p+q-4)+6{a(p-1)+a(q-1)}

(p,q)=(2,2)の場合    a4+a2=4+12a 不適

(p,q)=(2,3),(3,2)の場合  a5+a2=6a+6(a+a2)

a5-5a2=12a 不適

(p,q)=(3,3)の場合    a6+a2=9a2+12a2 

a6=20a2        不適

a≠bの時  

(p,q)=(2,2)の場合 a2b2+ab=4+6(a+b) 不適

(p,q)=(2,3),(3,2)の場合

それぞれ  a2b3+ab=ab(ab2+1)=6(a+b+b2)  不適

             a3b2+ab= ab(a2b+1)=6(a+b+a2) 不適

(p,q)=(3,3)の場合 a3b3+ab=9ab+6(a2+b2)

ab(a2b2-8)=6(a2+b2)   不適

 

p≧4かつq≧4の場合

ab{a(p-1)・b(q-1)+1-pq・a(p-3)・b(q-3)}= 6{a(p-1)+b(q-1)}

a,bが素数、右辺は6の倍数なので

(a,b)=(2,3)または(3,2)

(a,b)=(2,3)とすると

6{2(p-1)・3(q-1)+1-pq・2(p-3)・3(q-3)}= 6{2(p-1)+3(q-1)}

2(p-1)・3(q-1)-2(p-1)-3(q-1)+1=pq・2(p-3)・3(q-3)

(2(p-1)-1)(3(q-1)-1)= pq・2(p-3)・3(q-3)

p,qは素数なのでフェルマーの小定理より

p・3(q-3)=2p-1-1・・・@

q・2(p-3)=3q-1-1・・・A

@からAをひいて変形すると

3(q-3)(p+32)=2(p-3)(q+22)

したがって

2(p-3)=p+32    より  p=7

3(q-3)=q+22   より   q=5



答え (a,b,p,q)=(2,3,7,5)または(3,2,5,7)

 
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1842.Re: 素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月11日(木) 12時56分
(a^p)(b^q)+ab=pq(a^(p-2))(b^(q-2))
+6(a^(p-1)+b^(q-1))

です。
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1841.素数問題17  
名前:相田俊一    日付:2021年2月11日(木) 11時14分
下記の式を満たす素数a、b、p、qを求めよ。


(a^p)(b^q)+ab=pq(a^(p-2))(b^(q-2))+6

(a^(p-1)+b^(q-1))
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