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1847.複素係数のガウス積分  
名前:のぼりん    日付:2021年2月12日(金) 22時39分
a、bは複素数で、aは零でなく実部が零以上とします。
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory#Integrals_with_a_complex_argument_of_the_exponent
によると、
∫〔−∞〜∞〕exp(−½ax²+bx)dx=(2π/a)^½・exp(−b²/(2a))
となるようです。

● a の実部が正で b=0 のときは、普通に二乗して示しました。

● a の実部が零で b=0 のときは、R≫1を取り
0 → R ―(円弧)→ R・exp(iπ/4) → 0
の経路で複素線積分し、コーシーの積分定理で示せました。

● a の実部が正のときは、b/a=c+id として、R>|c| を取り、
−R → R → R−id → −R−id → −R … @
の経路で複素線積分し、コーシーの積分定理で示せました。
しかし、a の実部が零のときは、@の積分路で、左右の辺の経路の積分が零に収束せず、あるいは左右で打ち消し合わないため、上手く行きませんでした。

どうやれば良いでしょうか。
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