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1895.Re: 複素数の平方根について  
名前:ppp    日付:2021年2月26日(金) 14時11分
通りすがり さん ありがとうございます。
リーマン面を勉強してみます。
今後ともよろしくお願いします。
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1893.Re: 複素数の平方根について  
名前:通りすがり    日付:2021年2月25日(木) 23時22分
> c^2=z を満たすc∈Cを√z=cという理解でよろしいでしょうか?

それでよいです.但し,らすかるさんがおっしゃる場合,これだと 2 価の関数となりますので,複素の範囲で 1 価の関数として扱いたい場合,例えば次の様にその内の一つ(主値と呼ばれたりします)を明示的に指定することで 1 価の関数として扱う場合もあります.

 z = re^(iΘ) (r ≧ 0,-π < Θ ≦ π)のとき,
    √z = r^(1/2)e^(iΘ/2)
 と定める.

より好ましい定義として,平方根を複素数全体 C からリーマン面と呼ばれるある特殊な構造(一次元の複素多様体と呼ばれます)をもった空間への 1 価の関数として定義する方法があります.
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1890.Re: 複素数の平方根について  
名前:らすかる    日付:2021年2月25日(木) 15時45分
おそらく「定義」があればそこまで単純な定義ではないと思います。
その定義だと2価になってしまいますので。
ネットで検索すれば定義の例は見つかると思います。

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1889.Re: 複素数の平方根について  
名前:ppp    日付:2021年2月25日(木) 14時23分
らすかる さん ありがとうございます。
「複素数の平方根の定義」は、「複素数の累乗関数の定義」によるものではなく、
c^2=z を満たすc∈Cを√z=cという理解でよろしいでしょうか?
瑣末なことですがよろしくお願いします。
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1887.Re: 複素数の平方根について  
名前:らすかる    日付:2021年2月25日(木) 8時15分
「複素数の累乗関数の定義」には0は含めないと思いますが、
「複素数の平方根の定義」では0は含んでいると思います。

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1886.Re: 複素数の平方根について  
名前:ppp    日付:2021年2月25日(木) 7時18分
らすかる さん ありがとうございます。
zの累乗関数の定義をみると
z^α:=e^αlogzで定義されていてz=0は除かれているように
思えているのですが、もやもやして理解できないです。
よろしくお願いします。
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1881.Re: 複素数の平方根について  
名前:らすかる    日付:2021年2月24日(水) 23時41分
z=0のときはr=0と考えればよいのでは?
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1880.複素数の平方根について  
名前:ppp    日付:2021年2月24日(水) 21時39分
いつもお世話になっています
複素数z=r・e^iθに対して√z:=±√r・e^iθ/2で定義されている
と思うのですが、z=0では定義されていないのでしょうか?
実数の範囲では√0=0が成り立つと思うのですが、複素数の範囲では定義域から
z=0を除かなければいけないのでしょうか?
よく理解できていないので、教えてください。
よろしくお願いします。
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