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1914.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:佐々木    日付:2021年3月15日(月) 16時22分
こんにちは。通りすがりさん、詳しいご解説をありがとうございました。

>その通りです.もう少し正確に述べると「単なる条件」なのか「取りうる値の範囲」の違いです

自分の中にあったふんわりとした理解が、通りすがりさんの用語化のおかげで確かなものになりました。さらに具体的な例を提示してくださりいっそうクリアになりました。

>(つまり,正の実数 x に対し,x + 1/x は必ず数直線上の 2 以上の部分にあるという事実のみ)
このままでは,x + 1/x = 2 となりえるかは不明ですが,これについて答えているのが,いわゆる等号成立の為の条件

これまでいくつかの参考書を読んでもいまいち腑に落ちる事が出来なかったのですが、通りすがりさんの解説を読んだ後に改めて読み直すと納得する事ができました。

今回の質問で、「見た目は同じ」不等式なのに、片方で適応出来る事がもう片方で適応出来ず「使われ方が異なる」場合、「そもそも意味が複数ある」のではないか?という視点を新しく得ることが出来ました。

重ね重ねご教授誠にありがとうございました。
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1906.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:通りすがり    日付:2021年3月8日(月) 15時18分
その通りです.もう少し正確に述べると「単なる条件」なのか「取りうる値の範囲」の違いです.

本来「x ≧ 2 」は「x は 2 より大きい,または,2 に等しい」という単なる条件に過ぎず,「範囲」などという意味は全くありません.

しかしながら,「x ≧ 2」を集合{ x | x ≧ 2 } の代用とすることがあります.これがいわゆる「x の範囲」です.

「不等式 x - 1 ≧ 1 を解け」を正確に表現するならば,

  集合{ x | x - 1 ≧ 1 } に属する元を全て求めよ

です.その解は,全ての実数 x に対し

 x - 1 ≧ 1 <=> x ≧ 2

となることから,「集合 { x | x ≧ 2 } の元すべて」ということになります.これを我々は単に

 解は x ≧ 2

と表現します(これが混乱の元凶ですが).

不等式が「単なる条件なのか」,それとも「範囲を表すものなのか」については,各自で文脈で判断する必要があります.

例えば,(定義域が実数全体である)関数 y = f(x) について

 y の(取りうる値の)範囲は -2 ≦ y ≦ 3

などと表現した場合,正確には

 { f(x) | x は実数 } = { y | -2 ≦ y ≦ 3 }

であることを意味します.従いまして,y の最小値は -2 で最大値は 3 となります.

相加平均・相乗平均の関係における主張
 
 すべての非負の実数 x, y に対し,x + y ≧ 2√(xy) が成立する

に現れる不等式は単なる条件に過ぎません.従いまして,この命題を利用して得られる

 x + 1/x ≧ 2

も単に

 すべての正の実数 x に対し x + 1/x ≧ 2 が成り立つ

と主張しているに過ぎません.このことから x の範囲について分かるのは

 { x + 1/x | x は正の実数 } ⊂ { y | y ≧ 2 }

という事実のみです(つまり,正の実数 x に対し,x + 1/x は必ず数直線上の 2 以上の部分にあるという事実のみ).

このままでは,x + 1/x = 2 となりえるかは不明ですが,これについて答えているのが,いわゆる等号成立の為の条件

 x + y = 2√(xy) <=> x = y

です.つまり,x + y = 2√(xy) となるのは x = y の場合であり,かつ,そのときに限るわけです.

従いまして,「x + 1/x = 2 となりえるか否か」は,「x = 1/x を満たす正の実数 x が存在するか否か」で決まることになります.この場合,1 が確かに条件 x = 1/x を満たしますので,x + 1/x = 2 となりえます.

らすかるさんの例では,等号成立の為の条件

 √(x^2+4) = 1/√(x^2+4)

を満たす実数 x は存在しないので,√(x^2+4) + 1/√(x^2+4) = 2 はなりえないことになります(なので,最小値も 2 であるはずがない).
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1905.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:佐々木    日付:2021年3月8日(月) 5時5分
こんばんは。返信が遅れてしまい大変失礼致しました。

お二方のご返答から、最初の質問にあげた一次不等式と相加平均相乗平均で最後に出る不等式は別物であるのに、全く同質として見ていたことがそもそもの間違いなんだと気が付きました。
一次不等式を変形して出たxの範囲は、「これ」より大きい範囲、と境界がはっきりしている(なので、x≧2と解答が出たら2.3.4.5....が解答になる)のに対して、相加平均相乗平均で出てくる不等式の範囲は、「この辺り」よりは大きい範囲、と境界が断定出来ない(範囲を緩く絞りこんだだけ)。なので境界を断定するために等号の確認をし、範囲を断定し、そうして初めてその範囲の中で最も小さい値を最小値として答えにできる。
ということかなと思えました。

不明瞭や質問にも関わらず教授下さり誠にありがとうございました。やはり質問して良かったです。
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1894.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:らすかる    日付:2021年2月25日(木) 23時31分
√(x^2+4)+1/√(x^2+4)の最小値が2ならば、
√(x^2+4)+1/√(x^2+4)=2となるときのxの値を答えて下さい。

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1892.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:通りすがり    日付:2021年2月25日(木) 22時57分
横から失礼します.

> 2です

そうではありませんよ.話の流れを考えてみてください.

誤解の本質は,相加平均,相乗平均の関係と異なるところにあるように思いますので,もう少しシンプルな問題を提示しておきます.

x^2 ≧ -1 ですが,x^2 の最小値は -1 ですか?

佐々木さんは,x^2 の最小値を -1 と答えるようなことをしています.
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1891.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:佐々木    日付:2021年2月25日(木) 18時51分
2です
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1885.Re: 相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:らすかる    日付:2021年2月25日(木) 5時39分
では
√(x^2+4)+1/√(x^2+4)
の最小値はいくつですか?

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1884.相加相乗平均の等号成立確認について  
名前:佐々木    日付:2021年2月25日(木) 4時53分
おはようございます。相加相乗平均の等号成立確認と不等式の解について質問させてください。

例えば不等式の問題で、x≧2と解答が出たら、これは2.3.4.5....が解答になるということですよね。
そこで、相加相乗平均を利用して最小値を求める問題で、最後に等号成立を確認しますよね。例えば最後に、x➕1/x≧2となった際、このまま最小値2としたら間違いで、等号成立を確認した上で最小値2としなければならない、とありました。
しかし、先の不等式のように考えてしまい、x➕1/xは2.3.4.5...を取り得る、ならば一番小さい2が最小値になる、と考えてしまいます。この考えはどこが間違いなのでしょうか。ご指摘頂けると幸いです。
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