条件から
寒天：4x+y≦1600
砂糖：100x+50y≦45000 → 2x+y≦900
果汁：100x+500y≦225000 → x+5y≦2250
x^2+y^2+20(x+2y)=kとおいて整理すると
(x+10)^2+(y+20)^2=k+500
つまり(利益)+500円=((-10,-20)からの距離の2乗)
4x+y=1600と2x+y=900の交点は(350,200)でこれはx+5y≦2250を満たす
(-10,-20)から(350,200)までの距離の2乗は(350+10)^2+(200+20)^2=178000
4x+y=1600とx+5y=2250の交点は(5750/19,7400/19)だがこれは2x+y≦900を満たさない
2x+y=900とx+5y=2250の交点は(250,400)でこれは4x+y≦1600を満たす
(-10,-20)から(250,400)までの距離の2乗は(250+10)^2+(400+20)^2=244000
4x+y=1600,2x+y=900,x+5y=2250のx切片は順に400,450,2250で最小値は400、
400^2=160000
4x+y=1600,2x+y=900,x+5y=2250のy切片は順に1600,900,450で最小値は450、
450^2=202500
178000,244000,160000,202500のうちの最大値は244000なので
(x,y)=(250,400)のときに利益が最大、そして
(利益)+500=244000なので(利益)=243500円
# 大小関係の考察はグラフを描くとわかりやすいと思います。
# (上記の計算の意味もグラフを描くとわかると思います。)
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