条件が自然数の場合、下記の解答で合ってますか？
下記の式を満たす自然数m、n、x、yおよび素数zを求めよ。
m^2=(2x+3)^2+(2y+3)(z^2+1)
n^2=(2y+3)^2+(2x+3)(z^2+1)
2x+3=X 2y+3=Yと置くと
m^2=X^2+Y(z^2+1)・・・①
n^2=Y^2+X(z^2+1)・・・②
①よりm^2-X^2=Y(z^2+1)
(m+X)(m-X)= Y(z^2+1)
したがって mod4でみるとX,Yは5以上の奇数であるためｍが奇数の時、
左辺≡0 右辺≡±1または2で不成立。
mが偶数の時、左辺は奇数なので右辺も奇数になるためにはzは偶数つまり2でなければならない。
したがって ①、②は
m^2=X^2+5Y・・・③
n^2=Y^2+5X・・・④ となる。
（ただし、m,nは偶数、X,Yは5以上の奇数）
X=Yの時 m^2=X^2+5X X^2+5X-m^2=0
Xの二次方程式と考えると
判別式D=25+4m^2=l^2 (ただしlは自然数)
(l+2m)(l-2m)=25
l=13 m=6 から X^2+5X-36=0 (X+9)(X-4)=0
よってX=4,-9 これは不適。
X＜Yの時
④よりY^2＜Y^2+5X＜Y^2+5Y＜(Y+3)^2
したがって Y^2+5X=(Y+1)^2または(Y+2)^2
Y^2+5X=(Y+1)^2の時
Y=(5X-1)/2これを③に代入して整理すると(4X+25+4ｍ)(4X+25-4ｍ)=665 X,Yは5以上の奇数なので X=11 Y=27 m=16 n=28
Y^2+5X=(Y+2)^2の時
5X=4(Y+1) 左辺は奇数、右辺は偶数なので不適。
よって （m,n,X,Y）=(16,28,11,27)より
(m,n,x,y)=(16,28,4,12) (m,x)と(n,y)は対称なので
答え(m,n,x,y,z)=(16,28,4,12,2)または(28,16,12,4,2)
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