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1929．Re: 極限値

名前：ppp 日付：2021年4月2日(金) 20時58分

らすかるさん　ありがとうございます。

n→∞のとき小数1/6が残るわけですね。
理解できました。
今後ともよろしくお願いします。
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1928．Re: 極限値

名前：らすかる 日付：2021年4月2日(金) 20時21分

n^2+[n/3]は
n=3kのとき 9k^2+k=(3k+1/6)^2-1/36
n=3k+1のとき 9k^2+7k+1=(3k+7/6)^2-13/36
n=3k+2のとき 9k^2+13k+4=(3k+13/6)^2-25/36
なので
k→∞のとき
n=3kならば √(n^2+[n/3])-n=√{(3k+1/6)^2-1/36}-3k→1/6
n=3k+1ならば √(n^2+[n/3])-n=√{(3k+7/6)^2-13/36}-3k→7/6
n=3k+2ならば √(n^2+[n/3])-n=√{(3k+13/6)^2-25/36}-3k→13/6

※証明は
√{(3k+a)^2-b}-3k
={√{(3k+a)^2-b}-3k}{√{(3k+a)^2-b}+3k}/{√{(3k+a)^2-b}+3k}
={{(3k+a)^2-b}-(3k)^2}/{√{(3k+a)^2-b}+3k}
=(6ak+a^2-b)/{√{(3k+a)^2-b}+3k}
=(6a+a^2/k-b/k)/{√{(3+a/k)^2-b/k^2}+3}
なので
lim[k→∞]√{(3k+a)^2-b}-3k
=lim[k→∞](6a+a^2/k-b/k)/{√{(3+a/k)^2-b/k^2}+3}
=6a/6
=a

よってn→∞のとき{√(n^2+[n/3])の小数部}→1/6なので
lim[n→∞]sin(2π√(n^2+[n/3]))=lim[n→∞]sin(π/3)=√3/2
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1927．極限値

名前：ppp 日付：2021年4月2日(金) 18時30分

いつもお世話になっています。
次の極限値の求め方を教えてください。

n→∞のとき,sin(2π√(n^2＋[n/3]))　[n/3]はn/3の整数部分　nは整数

単純にn√に変形して極限値が0になると思ったのですが、答は√3/2でした。
求め方または、0にならない原因を教えてください。よろしくお願いします。
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「1927．極限値」への返信

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