a,b,c,p,q,rを実数の定数とし、f(x)= x^3+ax^2+bx+cするとき、
曲線y=f(x)と直線x=-1,x=1とで囲まれる部分の図形をx軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積が最小となるようにa,b,c値を求めると、
a=0,b=-3/5,c=0となって、このとき、g(x)=px^2+qx+rに対して、
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になります。
同じことを4次関数で行うと、
a,b,c,d,p,q,r,sを実数の定数とし、f(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+dするとき、
曲線y=f(x)と直線x=-1,x=1とで囲まれる部分の図形をx軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積が最小となるようにa,b,c,dの値を求めると、
a=0,b=-6/7,c=0,d=3/35となって、このとき、g(x)=px^3+qx^2+rx+sに対して、やっぱり
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になります。
おそらくn次関数f(x)で同じようなことを行うと、
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になりそうな気がします。
これは偶然なのでしょうか？
それとも必ず0になるものなのでしょうか？
必ず0になるのなら、それは高校数学の範囲で証明できるのでしょうか？
(高校 2 年/質問者)
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