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240.Re: 体積の最小値と積分  
名前:通りすがり    日付:2019年12月6日(金) 0時17分
ppp さん

その通りです.

因みに,W は余次元 1 なので,W に直交する様なベクトル全体は 1 次元の V の部分空間です.従いまして,W に直交する f で x^3 の係数が 1 であるものは一意的に定まります.

直交化は計算が面倒なので,恐らく私が提示した f = x^3 + ax^2 + bx + c とおいて

 ∫f dx = ∫xfdx = ∫x^2fdx = 0

を解く方が早いと思います.
(回答者)
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238.Re: 体積の最小値と積分  
名前:ppp    日付:2019年12月5日(木) 22時39分
通りすがり さん スマートな解説ありがとうございます。
ベクトル空間V=[1,x,x^2,x^3〕を正規直交化して、
[a_0,a_1+a_2x,a_3+a_4x+a_5x^2,a_6+a_7x+a_8x^2+a_9x^3]=V
とするとf=(a_6+a_7x+a_8x^2+a_9x^3)/a_9とおけば、
[a_0,a_1+a_2x,a_3+a_4x+a_5x^2]=W∋wに対して∫fw dx = <f,w> = 0
になってしまうと思うのですが、このfは通りすがり さん のfと
一致するものでしょうか?理解がいまいちなのでよろしくお願いします。
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236.Re: 体積の最小値と積分  
名前:みお    日付:2019年12月5日(木) 20時43分
みなさんご返信ありがとうございます。
学校の試験があって返信が遅れてしまいました。

さるさんの意見がすごくわかりやすかったです。
積分範囲も-1..1じゃなくて、一般にa..bでも成り立つことなのですね。
勉強になりました。
(高校 2 年/質問者)

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232.Re: 体積の最小値と積分  
名前:通りすがり    日付:2019年12月5日(木) 7時25分
高校数学の範疇を超えてしまいますが,関連事項ですし,閲覧されている方の参考にもなると思いますので,最小の存在について私見を述べておきます.

最小の存在の本質は,さるさんの仰る通り,点と平面の間の最小の距離の存在です.

V を 3 次以下の実数係数の多項式全体のなす集合とすると,1, x, x^2, x^3 を基底とする 4 次元の R(実数体)上の線形空間となります.

更に,V 上の写像 <-,->: V × V -> R を

 <v,w> = ∫vw dx (積分区間は 1 ≧ x ≧ -1.以下同様)

で定めると,<-,-> は V 上の内積となります.

以下,v ∈ V に対し

 |v| := <v,v>^(1/2)

と定めます(<v,v> = ∫v^2dx ≧ 0 に注意).

W を 2 次以下の多項式により生成される V の部分空間とすると,W は 3次元の部分空間なので,(上記の内積に関して)W に直交する V の元が存在します(直交基底の存在からいえる).更に,必要ならば 0 ではない実数をかけておくことで,W に直交する V の元 f で

 f = x^3 + w,w ∈ W

を満たすものが選べます.この f が最小となる多項式です.

実際,どの x^3 + (2次以下の多項式) の形の多項式も,ある w' ∈ W を用いて f + w' と表せ,<f,w'> = 0 より

 ∫π(f+w')^2dx = π<f+w',f+w'> = π(|f|^2 + |w'|^2) ≧ π|f|^2 = ∫πf^2dx

となります.

任意の 2 次以下の多項式 g に対し ∫fg dx = 0 となるのは,もはや自明です.実際,g が 2 次以下の多項式ならば g ∈ W なので,f の選び方から

 ∫fg dx = <f,g> = 0

となります.

具体的に f を求める場合は,f = x^3 + ax^2 + bx + c とおき,a, b, c に関する連立方程式

 ∫f dx = ∫xfdx = ∫x^2fdx = 0

を解けばよいと思います.

以上の話は勿論,一般の n 次元にも拡張できます. 
(回答者)
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226.Re: 体積の最小値と積分  
名前:さる    日付:2019年12月4日(水) 11時1分
きっちりやろうとしたら、
a^2+b^2+c^2→∞となるときに、積分量→∞となることを証明するのが通常の方法でしょうか。こうすれば、適当に大きなRに対して、a^2+b^2+c^2<R^2に最小値が存在することがわかります。でも、高校の範囲を超えているような。最小値がただ一つということまで知りたいなら、関数の凸性(≒ヘッセ行列の凸性)でしょうか。


本質的には平面と点の距離を求める問題なので、
https://mathtrain.jp/tentoheimen
とかも参考にして下さい。

これ以上は高校範囲の話題ではないと思いますので、私はこれまでとします。
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224.Re: 体積の最小値と積分  
名前:ppp    日付:2019年12月3日(火) 23時55分
いつもお世話になっています。
面白い問題だと思い、あれこれ妄想しています。
さる さん に質問ですが、積分区間に依らず、
∫(f(x))^2 dxの最小性だけでこの命題は成り立つと思うのですが
最小性はどのような根拠で保証されるのでしょうか?
 係数a,b,cの作る2次曲面やヘッセ行列の正定値性などあれこれ妄想しています。
よろしければご教授ください。
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220.Re: 体積の最小値と積分  
名前:さる    日付:2019年12月2日(月) 23時15分
>∫(f(x))^2 dxが最小になるようなf(x)= x^3+ax^2+bx+cを作ると、
と書きました。
作り方から、
∫(f(x))^2 dx <= ∫(f(x)+t g(x))^2 dx
が全てのtに対して成立します。
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219.Re: 体積の最小値と積分  
名前:山旅人    日付:2019年12月2日(月) 21時47分
定積分の範囲 [−1,1] は省略します。

 A=∫g(x)^2dx, B=∫f(x)g(x)dx, C=∫f(x)^2dx
と置くと,
 F(t)=∫{f(x)+tg(x)}^2dx=At^2+2Bt+C

F(t) は B=0 ならば 確かに F(0) が最小値になりますが,B≠0 ならばそれは言えないのでは?
よって,「F(0) が最小値だから B=0」 は言えないのではないでしょうか。

何か,私はカン違いをしているのでしょうか?!
 
(数学愛好者)
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218.Re: 体積の最小値と積分  
名前:m    日付:2019年12月2日(月) 12時3分
>さるさん
そんな方法があるとは、、、勉強になりました。
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217.Re: 体積の最小値と積分  
名前:さる    日付:2019年12月2日(月) 1時38分
高校の範囲かというと微妙なところですが。

(積分範囲は略します。)
∫(f(x))^2 dxが最小になるようなf(x)= x^3+ax^2+bx+cを作ると、
g(x)=px^2+qx+rに対して、
F(t)=∫(f(x)+t g(x))^2 dx は t=0で最小値を取ります。(そのようにf(x)を選んだ)
従って、F'(0)=0です。あとは計算すれば、
F'(0)=2∫f(x) g(x) dx =0が従います。
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210.Re: 体積の最小値と積分  
名前:みお    日付:2019年11月29日(金) 19時49分
mさんご返信ありがとうございます。

やっぱり成り立つのですね。
でも不思議です。
(高校 2 年/質問者)

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209.Re: 体積の最小値と積分  
名前:m    日付:2019年11月29日(金) 16時32分
すべての自然数nで =0 が成り立ちます。
証明はできますが、高校数学の範囲内での証明は私には思いつきませんでした。
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204.体積の最小値と積分  
名前:みお    日付:2019年11月28日(木) 21時44分
a,b,c,p,q,rを実数の定数とし、f(x)= x^3+ax^2+bx+cするとき、
曲線y=f(x)と直線x=-1,x=1とで囲まれる部分の図形をx軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積が最小となるようにa,b,c値を求めると、
a=0,b=-3/5,c=0となって、このとき、g(x)=px^2+qx+rに対して、
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になります。

同じことを4次関数で行うと、
a,b,c,d,p,q,r,sを実数の定数とし、f(x)= x^4+ax^3+bx^2+cx+dするとき、
曲線y=f(x)と直線x=-1,x=1とで囲まれる部分の図形をx軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積が最小となるようにa,b,c,dの値を求めると、
a=0,b=-6/7,c=0,d=3/35となって、このとき、g(x)=px^3+qx^2+rx+sに対して、やっぱり
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になります。

おそらくn次関数f(x)で同じようなことを行うと、
(x=-1..1)∫f(x)g(x)dx=0になりそうな気がします。
これは偶然なのでしょうか?
それとも必ず0になるものなのでしょうか?
必ず0になるのなら、それは高校数学の範囲で証明できるのでしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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