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244.Re: 6次関数  
名前:みお    日付:2019年12月6日(金) 17時38分
らすかるさんのおっしゃ通りです。
結局3次方程式の解の問題に帰着されますね。
ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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243.Re: 6次関数  
名前:らすかる    日付:2019年12月6日(金) 12時48分
> x,y,zは整数と決めつけているわけではなかったのですが、
それは失礼しました。

結局、例えばk=31の時は
x^2+y^2+z^2=31
x+y+z=9
xyzが整数
xy+yz+zx={(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}/2=25
から
h^3-9h^2+25h-(c-18)=0
が2以上の3実数解を持つ整数cを求めることになりますので、
私の回答と同様のことをしなければいけなくなるような気がします。

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242.Re: 6次関数  
名前:みお    日付:2019年12月6日(金) 12時2分
らすかるさん返信ありがとうございます。

x,y,zは整数と決めつけているわけではなかったのですが、
cが自然数なのでc=xyz+18からxとyとzの積が整数になる条件を
見つけようと思っていました。
b=27のときは、2≦x,y,z≦5の範囲において、
球面x^2+y^2+z^2=27と平面x+y+z=9が点(3,3,3)でしか接していないのですが、
それ以外は共有点が球面と平面が交わって得られる円周上になるので無理そうですね。
ありがとうございます。

(高校 2 年/質問者)

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241.Re: 6次関数  
名前:らすかる    日付:2019年12月6日(金) 0時45分
b=29のときは求められますよね?
(x,y,z)=(2,3,4)(とその入れ替え)になります。

しかしその方法では、「x,y,zが整数」と決めつけていますので
(b=27,29,30の場合でも)まずいと思います。
実際、b=28のときは
(x,y,z)=(2,(7+√5)/2,(7-√5)/2)(とその入れ替え)
という解になりますし、
b=11のときに(x,y,z)=(5,2,2)(の入れ替え)以外の解が
あるかも知れませんよね。
(他にないことが示せるのならOKですが。)

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239.Re: 6次関数  
名前:みお    日付:2019年12月6日(金) 0時7分
らすかるさん返信ありがとうございます。

> b=xy+yz+zx+3=(1/2){(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}+3=55/2-(x^2+y^2+z^2)
この部分がb=87/2-(x^2+y^2+z^2)/2
の間違いでした。

xyz空間内で2≦x,y,z≦5の範囲で球面x^2+y^2+z^2=kと平面x+y+z=9の共有点が
ある範囲を考えて、27≦k≦33が得られて…@
k=33のときb=27,
k=31のときb=28,
k=29のときb=29,
k=27のときb=30
になって、
b=27のとき(x,y,z)=(5,2,2),(2,5,2),(2,2,5)なのでc=20+2・9=38
b=30のとき(x,y,z)=(3,3,3)なのでc=27+2・9=45
になりました。
b=28,29のときのcの値が結局求められなかったです。
(高校 2 年/質問者)

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237.Re: 6次関数  
名前:らすかる    日付:2019年12月5日(木) 22時36分
全く違う解き方で、また簡単でも綺麗でもないですが

t^6-9t^5+bt^4-ct^3+bt^2-9t+1=0
t=0は解ではないので両辺をt^3で割ってx=t+1/tとおくと
x^3-9x^2+(b-3)x-c+18=0 … (1)
この方程式の全解がx≧2を満たす実数解であればよい。
(∵tが正の実数⇔t+1/t≧2)
g(x)=x^3-9x^2+(b-3)x-c+18とおくと
g'(x)=3x^2-18x+b-3
D/4=81-3(b-3)=90-3b≧0からb≦30 … (2)
g'(x)=0の解はx=3±√(90-3b)/3
α=3-√(90-3b)/3,β=3+√(90-3b)/3とおく。
「(1)の全解が2以上の実数」
⇔「α≧2 かつ g(2)≦0 かつ g(α)≧0 かつ g(β)≦0」
α≧2からb≧27なので、(2)と合わせて27≦b≦30
g(2)≦0から2b-c≦16

α,βは3x^2-18x+b-3=0の解なので
x=α,βのとき3x^2=18x-b+3
これを使ってg(x)の次数を下げると
x^3-9x^2+(b-3)x-c+18=(2b/3-20)x+b-c+15なので
g(α)=(2b/3-20)α+b-c+15=3b-c-45+2(30-b)√(90-3b)/9
g(β)=(2b/3-20)β+b-c+15=3b-c-45-2(30-b)√(90-3b)/9
「g(α)≧0かつg(β)≦0」を整理すると
3b-45-2(30-b)√(90-3b)/9≦c≦3b-45+2(30-b)√(90-3b)/9
b=27,28,29,30のそれぞれについてcの範囲を求めると
b=27のとき34≦c≦38
b=28のとき38≦c≦40
b=29のときc=42
b=30のときc=45
このうち2b-c≦16を満たすものは
(b,c)=(27,38),(28,40),(29,42),(30,45) … (答)

# b=11,c=38などでは元の六次方程式が虚数解を持ち、不適です。

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235.6次関数  
名前:みお    日付:2019年12月5日(木) 20時35分
a,b,cを正の整数、p,q,r,s,u,vを正の実数とし、
関数f(t)をf(t)=t^6-at^5+bt^4-ct^3+bt^2-at+1=(t-p)(t-q)(t-r)(t-s)(t-u)(t-v)
で定義します。
a=9のとき(b,c)の組をすべて求めよという問題の最後で躓いています。

まず、f(p)=f(1/p)=f(q)=f(1/q)=f(r)=f(1/r)=0なので、
s,u,vをs=1/p,u=1/q,v=1/rとおくことができて、
t^5,t^4,t^3の係数を比較すると、
a=p+(1/p)+q+(1/q)+r+(1/r)
b=(p+(1/p))(q+(1/q))+(q+(1/q))(r+(1/r))+(r+(1/r))(p+(1/p))+3
c=(p+(1/p))(q+(1/q))(r+(1/r))+2{(p+(1/p))+(q+(1/q))+(r+(1/r))}
より、
x=p+(1/p),y=q+(1/q),z=r+(1/r)とおくと、
a=x+y+z
b=xy+yz+zx+3
c=xyz+2(x+y+z)
x,y,z≧2でx+y+z=9だから、2≦x,y,z≦5が成り立つので、
b=xy+yz+zx+3=(1/2){(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}+3=55/2-(x^2+y^2+z^2)
となって、
xyz空間内で2≦x,y,z≦5の範囲で球面x^2+y^2+z^2=kと平面x+y+z=9の共有点が
ある範囲を考えて、27≦k≦33が得られて…@
k=33のときb=11,
k=31のときb=12,
k=29のときb=13,
k=27のときb=14
になって、
b=11のとき(x,y,z)=(5,2,2),(2,5,2),(2,2,5)なのでc=20+2・9=38
b=14のとき(x,y,z)=(3,3,3)なのでc=27+2・9=45
になると思うのですが、
b=12,13のときのcの値が求められないです。
おそらくcが自然数にはならなさそうなのですがわからないです。

また@もkの値から逆に考えて書いたのですが、イメージしにくいです。
解き方を教えてください。
(高校 2 年/質問者)

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