その様な例は存在しません。
一般に、収束する数列{a_n}, {b_n}があったとして、
a_n ≦ b_n
が各自然数nに対して成り立つならば
lim[n to ∞] a_n ≦ lim[n to ∞]b_n
が成り立ちます。（「はさみうちの原理」みたいなもの）
標語的に言うなら
「級数①, ②の部分和が①>②なら、無限に飛ばせば必ず①≧②になる」
という事です。
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