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262.Re: tanx=tan3xtan5xtan7x  
名前:みお    日付:2019年12月15日(日) 22時18分
頑張ってみます。
ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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258.Re: tanx=tan3xtan5xtan7x  
名前:IT    日付:2019年12月15日(日) 22時35分
> 0<x<π/2の範囲で
> 十分条件から解が7個出てきたらtanxの7次方程式だからそれ以上解はないとしてはダメなのでしょうか?
tanxの7次方程式 であることを示せれば、それでもOKだと思います。

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257.Re: tanx=tan3xtan5xtan7x  
名前:みお    日付:2019年12月15日(日) 19時17分
ITさんご回答ありがとうございます。
出典はないのですが、自分で考えてみただけです。
なので解答がないです。
0<x<π/2の範囲で
十分条件から解が7個出てきたらtanxの7次方程式だからそれ以上解はないとしてはダメなのでしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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255.Re: tanx=tan3xtan5xtan7x  
名前:IT    日付:2019年12月16日(月) 21時33分
(1)tan(π/6-x)=tan5xかつtan(π/6+x)=tan7x
(2)tan(π/6-x)=tan7xかつtan(π/6+x)=tan5x
(3)tan(π/6-x)=-tan5xかつtan(π/6+x)=-tan7x
(4)tan(π/6-x)=-tan7xかつtan(π/6+x)=-tan5x
のいずれかを満たす

これは十分条件でしかないのでは?

ade=abc ⇔a(de-bc)=0 ⇔ a=0 または de-bc=0です。

この後、
de-bc=0 と
(d=±b かつ e=±c)または(d=±c かつ e=±b) (複号同順)
は同値ではありません。

x=π/4が解の1つであることは、元のtanx=tan3xtan5xtan7x で直ぐ分かりますね。

tan3xtan5xtan7xの正負と増減から
0<x<π/14 に1つ以上解がありそう(実はちょうど1つある)
π/10<x<2π/14 ,π/6<x<2π/10 ,3π/14<x<4π/14
3π/10<x<2π/6 ,5π/14<x<4π/10 に各1つ解がある
6π/14<x<π/2に1つ以上解がありそう(実はちょうど1つある)
と分かります。

やっかいな問題ですね。出題のままですか?出典は何ですか?


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254.tanx=tan3xtan5xtan7x  
名前:みお    日付:2019年12月14日(土) 22時7分
0<x<π/2のとき
tanx=tan3xtan5xtan7x・・・[1]を満たすxの値を求めたいのですが、
tanx=tan3xtan(π/6-x)tan(π/6+x)が成り立つので、
(1)tan(π/6-x)=tan5xかつtan(π/6+x)=tan7x
(2)tan(π/6-x)=tan7xかつtan(π/6+x)=tan5x
(3)tan(π/6-x)=-tan5xかつtan(π/6+x)=-tan7x
(4)tan(π/6-x)=-tan7xかつtan(π/6+x)=-tan5x
のいずれかを満たすxを求めると、
x=π/36,5π/36,7π/36,11π/36,13π/36,17π/36が求まったのですが、
x=π/4も[1]の解のはずなのにこれらの場合分けの中で引っかけることが
できません。
また、aを0でない定数とすると、
tan(π/6-x)=atan5xかつtan(π/6+x)=(1/a)tan7x
なども満たすxも[1]の解になるかも知れないはずなのですが、何となく無さそうな気がします。
x=π/4は自分で勝手に代入して成り立つ成り立たないをチェックしないといけないのでしょうか。
(高校 2 年/質問者)

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「254.tanx=tan3xtan5xtan7x」への返信

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