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2560.Re: 漸化式  
名前:曲線のショコラ    日付:2021年8月9日(月) 9時31分
らすかるさん、ご無沙汰しております。
いつも、ありがとうございます。

完璧に理解できました!漸化式を解こうとせずに、
二次方程式と考えて、ルートの中を考えるなど、
もっと頭を柔らかくして考えないと駄目だなと
反省しました。

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2559.Re: 漸化式  
名前:らすかる    日付:2021年8月9日(月) 1時11分
(1)
(a[n])^2+(a[n+1])^2=2(a[n]+a[n+1]+a[n]a[n+1]) をa[n+1]について整理すると
(a[n+1])^2-2(a[n]+1)a[n+1]+a[n](a[n]-2)=0
a[n+1]の二次方程式と考えて解くと
a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)
{a[n]}は整数列なのでルートの中身の4a[n]+1は平方数でなければならない。
4a[n]+1は奇数なので奇数の平方だから4a[n]+1=(2k-1)^2(k≧1)とおいて整理すると
a[n]=(k-1)k
従ってa[n]は連続する二つの整数の積でなければならない。

(2)
a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)だがa[n]<a[n+1]なので
a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)
a[n]=(k-1)kのとき
√(4a[n]+1)=√{4(k-1)k+1}=√(4k^2-4k+1)=2k-1(∵k≧1)となり
a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)=(k-1)k+1+(2k-1)=k^2+k=k(k+1)
従ってa[n]=(k-1)kのときa[n+1]=k(k+1)となるから
a[1]=2021・2022ならばa[n]=(2020+n)(2021+n)

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2558.漸化式  
名前:曲線のショコラ    日付:2021年8月9日(月) 0時10分
【問題】
数列{a_n}は整数列とする。
(a_n)^2+(a_{n+1})^2=2(a_n+a_{n+1}+(a_n)(a_{n+1})), a_n<a_{n+1}
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1)nは任意の正の整数とする。a_nは連続する2つの整数の積であることを示せ。
(2)a_1=2021・2022のとき,正の整数nに対して,a_nを求めよ。
---------------------------------------------------------------
(1)は,漸化式を解いて,a_n=m(m+1)を示すのかなとあれこれ式を変形
したりしているのですが,うまくいかず。どうやって解くか,わかる方いらっしゃったら教えて頂けると助かります。よろしくお願い致します。

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