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2572.Re: 数列が平方数になること  
名前:らすかる    日付:2021年8月14日(土) 1時46分
b[1]=-1, b[2]=1, b[n+2]=-b[n+1]-2b[n]
という数列を考えると、この数列は整数列でb[3]=1
b[n+3]=-b[n+2]-2b[n+1] の両辺を2乗して
(b[n+3])^2=(b[n+2])^2+4b[n+2]b[n+1]+4(b[n+1])^2 … (1)
b[n+2]=-b[n+1]-2b[n] の両辺を2乗して
(b[n+2])^2=(b[n+1])^2+4b[n+1]b[n]+4(b[n])^2
両辺を2倍して左辺の項を右辺に移項すると
0=-2(b[n+2])^2+2(b[n+1])^2+8b[n+1]b[n]+8(b[n])^2 … (2)
b[n+2]=-b[n+1]-2b[n] の左辺の項を右辺に移項して両辺に4b[n+1]を掛けると
0=-4b[n+2]b[n+1]-4(b[n+1])^2-8b[n+1]b[n] … (3)
(1)(2)(3)を辺々加えて
(b[n+3])^2=-(b[n+2])^2+2(b[n+1])^2+8(b[n])^2
よって(b[n])^2=a[n]とおけば
a[1]=a[2]=a[3]=1, a[n+3]=-a[n+2]+2a[n+1]+8a[n]
となるので、a[n]のすべての項は平方数。

pl69992.ag1001.nttpc.ne.jp (61.197.88.104)
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2571.数列が平方数になること  
名前:もりき    日付:2021年8月13日(金) 23時26分
数列{an}は、次の漸化式で与えられる。
a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n
a_1 = a_2 = a_3 = 1
この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ

大学の授業で、生成関数について勉強している中で、でてきました。

一般項は、an=1/7(2^(n+2)+α^(n+1)+β^(n+1)
α、βは、特性方程式の解です。
p806209-ipngn200518yosemiya.okinawa.ocn.ne.jp (180.20.16.209)
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