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2596.Re: 素数問題18  
名前:相田俊一    日付:2021年8月22日(日) 15時54分
ご指摘ありがとうございます。確かに抜けていました。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
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2595.Re: 素数問題18  
名前:高校三年生    日付:2021年8月22日(日) 15時33分
ちなみに、

(p,q,r)=(13,5,47)

も解です。
なぜ改題したかというと、この問題は「根気」だけの勝負で、
エレガント性を感じなかったからです。
出題者自身が、解答を間違うほどただただ煩雑で、
ストレス性の高い問題です。

失礼いたしました。m(_ _)m
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2594.Re: 素数問題18  
名前:相田俊一    日付:2021年8月22日(日) 14時51分
作問の意図と解答

@と素数条件だけでは、解はたぶん無数になるのでAの条件をつけて限定しました。(ラスカル先生、問題として成立してますか?ご教示ください。)



以下の式を満たす素数p、q、rを求めよ。
p^3-p+q^2-r^2=0・・・@
p≧(q+r)/4・・・A

@より
(p-1)p(p+1)=(r+q)(r-q)・・・@´
左辺は3の倍数なので
r>q≧5・・・B
@´,Aより
(p-1)p(p+1)=(r+q)(r-q)≦4p(r-q)
{(q+r)/4}^2-1≦p^2-1≦4(r-q)
(r+q)^2-16≦64(r-q)
(r-q)^2+4rq-16-64(r-q)≦0
4rq≦{(r-q)-32}^2+4rq≦16+32^2
rq≦260・・・C

B,Cより
q=5の時
rの候補は7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
この中で@´,Aを満たすのは
(p,q,r)=(3,5,7) (7,5,19)

q=7の時
rの候補は
11,13,17,19,23,29,31,37
この中で@´,Aを満たすのは
(p,q,r)=(5,7,13)(11.7,37)

q=11の時
rの候補は13,17,19,23 
いずれも不適

q=13の時
rの候補は17,19 いずれも不適

したがって
(p,q,r)=(3,5,7) (7,5,19)(5,7,13)(11.7,37)
KD106128033071.au-net.ne.jp (106.128.33.71)
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2587.Re: 素数問題18  
名前:高校三年生    日付:2021年8月20日(金) 15時24分
以下の式を満たす素数p、q、rを求めよ。
p^3-p+q^2-r^2=0
p≧(q+r)/2

勝手に改題。

f(x)=x^3-x
g(x)=4x^2

f(x)-g(x)=0 の解は、x(x^2-4x-1)=0より、

x=0,2±√5

なので、p=1,2,3に限る。

・p=1のとき

r^2-q^2=0
r+q≦4

(q,r)=(1,1),(2,2)

・p=2のとき

r^2-q^2=6
r+q≦8

(r+q,r-q)=(3,2),(6,1)なので解なし。

・p=3のとき

r^2-q^2=24
r+q≦12

(q,r)=(1,5),(5,7)

こんな感じかと・・・。
元の問題は面倒くさ過ぎっす。(-_-;)y-~
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2585.素数問題18  
名前:相田俊一    日付:2021年8月19日(木) 10時45分


以下の式を満たす素数p、q、rを求めよ。
p^3-p+q^2-r^2=0
p≧(q+r)/4


KD106128027129.au-net.ne.jp (106.128.27.129)
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