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2652.Re: 数学3 複素数平面  
名前:フェルマー    日付:2021年9月10日(金) 17時31分
分かりやすく解説してくださってありがとうございます!
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2649.Re: 数学3 複素数平面  
名前:X    日付:2021年9月8日(水) 18時39分
別解に誤植がありますね。
>>α^k-m=1.(1≦k-m≦3)
これは
α^(m-k)=1.(1≦m-k≦3)
なのでは?。

次にご質問の
>>これは、αがz^5=1 の解であることに矛盾する.
ですが
これは、αがz^5=1 の「虚数」解であることに矛盾する.
のタイプミスと見て回答を。

α^(m-k)=1.(1≦m-k≦3)
について
(i)m-k=1のとき
(ii)m-k=2のとき
(iii)m-k=3のとき
に場合分けして考えます。

(i)(ii)の場合はαが実数になってしまうの明らか
なので仮定に矛盾。
問題は(iii)のときですが
α^3=1 (A)
で更に仮定から
α^5=1
∴(α^3)(α^2)=1 (B)
(B)の左辺に(A)を代入すると
α^2=1
∴αは実数となってしまい、これも仮定に矛盾します。
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2648.数学3 複素数平面  
名前:フェルマー    日付:2021年9月8日(水) 16時50分
方程式z^5=1 の虚数解の一つをαとするとき、α以外の3つの虚数解は、α^2、α^3、α^4 に等しいことを証明せよ。

[本解]
等円方程式を用いて考えていました

[別解]
α^k^5=α^5^k=1^k=1(k=2,3,4)より、α^k は z^5=1 の解である.

さらに、α^k=α^m (1≦k<m≦4)とすると、α^k-m=1.(1≦k-m≦3)

これは、αがz^5=1 の解であることに矛盾する.

以上から、α、α^2、α^3、α^4は全て異なる.


---------------------------------------------------------

別解にある、「これは、αがz^5=1 の解であることに矛盾する.」の部分が分かりません。どなたか教えてください。
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