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2654.Re: 位相幾何学 命題の証明  
名前:名無し    日付:2021年9月11日(土) 8時32分
丁寧な解説をして下さり、本当にありがとうございます。
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2653.Re: 位相幾何学 命題の証明  
名前:    日付:2021年9月10日(金) 22時46分
U が連結つまり弧状連結と仮定して示す.一般の U については以下の議論を各連結成分に対して適用すればよい.

U の一点 x_0 を固定する.U 上の関数 f を次で定める.
各x ∈ U に対し,x_0 から xへの道γ_xを一つとり
f(x) := ∫_{γ_x}ω.
この定義は,仮定「∀τ:閉道, ∫_{τ} ω = 0」により well-defined となる(証明略)
// 追記:道γ_xの取り方によらずに定まるという意味で.

あとは,ω= g dx_1 + h dx_2 と表したときに,df/dx_1 = g, df/dx_2 = h となることを示せばよい.

任意に x ∈ U をとる.e_1=(1,0)とする.
実数 h に対して,点 x から点 x+he_1 を結ぶ線分の道をLとし,L⊂U となるような h を任意にとる.

このとき γ_{x+he_1} は,γ_x と L をつなげた道と同じ始点終点を持つから
f(x+he_1) = f(x) + ∫_{L} ω.
よって
f(x+he_1) - f(x)
= ∫_{L} ω
= ∫_{L} (g dx_1 + h dx_2)
= ∫_{L} g dx_1
= h g(x+θhe_1)  (0<∃θ<1 ∵積分の平均値の定理)
従って
(df/dx_1)(x) = lim[h \to 0] (f(x+he_1) - f(x))/h = g(x)
(df/dx_2)(x) = h(x) も同様.(終)

// 複素関数論ではこの命題をモレラの定理とかコーシーの積分定理の逆とか言いますね.
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2651.位相幾何学 命題の証明  
名前:名無し    日付:2021年9月9日(木) 22時14分
平面R^2の開集合U上に、1-形式ωが定義されている。この時、次を示せ。

Uにおける全ての閉じた区分道τ(タウ)に対し、∫_{τ} ω = 0
が成り立つならば、
U上の滑らかな関数fに対して、 ω = df

この証明の仕方が分かりません。
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