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270.Re: フィボナッチ数列の一般化  
名前:CEGIPO    日付:2019年12月18日(水) 13時43分
なるほど、よくわかりました。
らすかるさん、ありがとうございます。

「三項間漸化式」も後ほど調べてみますね。

(等比数列でα、βとか出てくるあれでしょうか?おそらくそうですね。)
(社会人)
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268.Re: フィボナッチ数列の一般化  
名前:らすかる    日付:2019年12月17日(火) 20時39分
せっかくフィボナッチ数列の一般項
(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n)/√5 … (1)
がありますので、それを使います。
a[1]=a[2]=1のとき
1,1,2,3,5,8,13,21,…
なので、a[1]=0,a[2]=1のときは
0,1,1,2,3,5,8,13,…
のように1項ずれた数列となり、これの一般項は
(((1+√5)/2)^(n-1)-((1-√5)/2)^(n-1))/√5
=((2/(1+√5))((1+√5)/2)^n-(2/(1-√5))((1-√5)/2)^n)/√5
=(-((1-√5)/2)((1+√5)/2)^n+((1+√5)/2)((1-√5)/2)^n)/√5 … (2)
となりますね。
従ってb[1]=m1, b[2]=m2の場合は
(1)×m1+(2)×(m2-m1)
=((m1-(m2-m1)(1-√5)/2)((1+√5)/2)^n+(-m1+(m2-m1)(1+√5)/2)((1-√5)/2)^n)/√5
=((3m1-m2+(m2-m1)√5)((1+√5)/2)^n+(-3m1+m2+(m2-m1)√5)((1-√5)/2)^n)/(2√5)
となります。

もし、フィボナッチ数列の一般項を使わずに求める方法が
知りたいということでしたら、「三項間漸化式」で検索すれば
解説しているサイトがたくさん見つかると思います。

i121-114-88-228.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.88.228)
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266.フィボナッチ数列の一般化  
名前:CEGIPO    日付:2019年12月17日(火) 17時12分
(自作問題です)

フィボナッチ数列の応用を考えてみました。

元々のフィボナッチ数列については第n項をa[n]として

a[1]=a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n]

で漸化式が表され、一般項は

a[n]={ {(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n }/√5 ... [A1]

で表せたと思いますが、この初項二数(a[1],a[2])を一般化して
自然数m1,m2に対して

b[1]=m1,b[2]=m2,b[n+2]=b[n+1]+b[n]

で表せた時のb[n]の一般項を求めたいです。

[A1]と類似する式になると推測しますが
途中の求め方(テクニック)も教えてくださると幸いです。

よろしくお願いします。
(社会人/質問者)

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「266.フィボナッチ数列の一般化」への返信

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