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328.Re: 数学的帰納法  
名前:みお    日付:2019年12月29日(日) 14時54分
mさんご返信ありがとうございます。
内容は理解できましたが、これを自分で思いつくのは無理です。
もう少し簡単に導けると思っていたのですが、無理みたいですね。
ありがとうございます。
(高校 2 年/質問者)

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324.Re: 数学的帰納法  
名前:m    日付:2019年12月29日(日) 11時2分
難しいですね。わからなかったので調べました。

z(n)はシルベスター数列というらしい。
問題の証明は ここ の498-503ページにありました。
(2)は補題12と定理23で証明されています。また、補題12は証明が二つあって[証明1]はもっと前の定理を参照しているので[証明2]を読んだ方がいいです。
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315.数学的帰納法  
名前:みお    日付:2019年12月28日(土) 12時20分
x(k),z(k)は、x(k+1)≧x(k)>0,z(k+1)≧z(k)>0(k=1,2,…,n-1)を満たしている。
(1)z(1)=2,z(n)=z(1)×z(2)×…×z(n-1)+1のときΣ(1/z(k)){k=1..n-1}+1/(z(n)-1)=1が成り立つことを示せ。
(2)Σ(1/x(k))<1を満たす自然数(x(1),x(2),…,x(n))の組に対して、
Σ(1/x(k))の最大値を与えるx(k)は、x(k)=z(k)(k=1,2,…n)であることを示せ。
という問題が分からないです。

(1)は数学的帰納法ですぐに示せたのですが、
(2)は数学的帰納法でΣ(1/x(k))≦Σ(1/z(k)) {k=1..n}(等号成立は、x(k)=z(k)のとき)を示そうと思い、
Σ(1/x(k))>Σ(1/z(k)) {k=1..n+1}が成り立つものとして矛盾を導こうと思ったのですが、うまくいかなかったです。
(2)の証明を教えてください。
(高校 2 年/質問者)

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「315.数学的帰納法」への返信

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