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336.Re: 互いに素の証明  
名前:ばばば    日付:2019年12月31日(火) 2時43分
とてもスマートな証明ですね...!
ありがとうございます!

良いお年を。
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335.Re: 互いに素の証明  
名前:らすかる    日付:2019年12月31日(火) 2時12分
なるほど、そういう定理を使ったのですね。
332の質問の答えに333の解法が使えるかと思って質問したのですが、
その定理では使えないですね。
それならば、332の回答は
aの約数はabの約数なので(a+b,a)≦(a+b,ab)
よって(a+b,ab)=1⇒(a+b,a)=1
ぐらいにします。

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334.Re: 互いに素の証明  
名前:ばばば    日付:2019年12月31日(火) 0時47分
(a,b)=1
という仮定と, 互除法によって
(a+b, a)=(a, b)
が得られるので, このふたつから
(a+b, b)=1
です. ここで次の定理:
aとcを互いに素な整数とするとき,
(a, bc)=(a,b)
が成り立つ
を使います. この定理において
a→a+b, b→a, c→b
として導出しました.
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333.Re: 互いに素の証明  
名前:らすかる    日付:2019年12月30日(月) 22時41分
> (a,b)=1 ⇒ (a+b, ab)=1
> は
> (a+b, a)=(a, b)=1
> より,
> (a+b, ab)=(a+b, b)=(a, b)=1
> で示されますが,

この証明の
(a+b, ab)=(a+b, b)
はどのように導出されたのですか?

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332.Re: 互いに素の証明  
名前:ばばば    日付:2019年12月30日(月) 20時37分
>a+bがabと互いに素ならば
a+bは当然aともbとも互いに素ですから

ここは互除法などで示ますか?
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331.Re: 互いに素の証明  
名前:らすかる    日付:2019年12月30日(月) 20時7分
a+bがabと互いに素ならば
a+bは当然aともbとも互いに素ですから
(a+b,ab)=1
(a+b,a)=1
(a,b)=1
で良いと思います。

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330.Re: 互いに素の証明  
名前:IT    日付:2020年1月1日(水) 9時37分
整数a,bについて、aがbの約数であることを a|b と書きます。
一般に,
 (a,b)|a かつ (a,b)|b なので、(a,b)|(a+b) かつ (a,b)|ab
 よって、 (a,b)|(a+b, ab)

したがって(a+b, ab)=1⇒ (a,b)=1

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329.互いに素の証明  
名前:ばばば    日付:2019年12月30日(月) 16時56分
以下では, 整数a,bの最大公約数を(a,b)で書くことにします

いま整数a,bに対して
(a+b,ab)=1 ⇔ (a,b)=1
を示したいです

(a,b)=1 ⇒ (a+b, ab)=1

(a+b, a)=(a, b)=1
より,
(a+b, ab)=(a+b, b)=(a, b)=1
で示されますが,

(a+b, ab)=1 ⇒ (a,b)=1
も同様に互除法を用いて示したいです。
どうすればよいでしょうか?
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