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350.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:IT    日付:2020年1月3日(金) 13時18分
>入試で出題されたら時間内に全部は解けそうになさそうです。

出るとしても、もう少し簡単にして出ると思います。

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349.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:みお    日付:2020年1月3日(金) 12時51分
ITさんご解答ありがとうございます。

理解することが出来ました。

グラフの対称性も直感的に見て正しいと思ったのですが、
きちんと証明しないと解答にはならないので結構時間がかかる問題でした。
入試で出題されたら時間内に全部は解けそうになさそうです。
(高校 2 年/質問者)

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348.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:IT    日付:2020年1月3日(金) 11時57分
「分けて考える」というのとは少し違うかも知れません。

rが决増加するとx2-x1,x4-x3 は増加し、x3-x2は減少し
 S1,S3の増加は (x2-x1)决、(x4-x3)决 で S2の減少は 、(x3-x2)决 で近似されます。

(x2-x1)+(x4-x3)= (x3-x2) のときSは最小となります。

これはグラフを見て考えると直観的には正しいようですが、念のため証明しておきます。

mさんの解答中の定義をそのまま使います。

簡単のためa>0とします。

f(x)の極大値をmとします。
0<k<mについて、 曲線y=f(x)と直線y=kで囲まれる部分の面積をS(k)とおきます。
0<t<mについて f(x)-t=0の解をx1(t)<x2(t)<x3(t)<x4(t) とおきます。
 このときx1(t),x2(t),x3(t),x4(t) は連続関数。

S(k)=∫[t=0,k](x2(t)-x1(t))dt+∫[t=k,m](x3(t)-x2(t))dt+∫[t=0,k](x4(t)-x3(t))dt
(縦横90°回転して定積分を考えてます。)

S'(k)=(x2(k)-x1(k))-(x3(k)-x2(k))+(x4(k)-x3(k))
 S'(k)の増減・正負を考えるとS'(k)は負、0、正 となる。

したがって,S(k)が最小となるのは、S'(k)=0, すなわち(x2(k)-x1(k))-(x3(k)-x2(k))+(x4(k)-x3(k))=0のときである。

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347.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:みお    日付:2020年1月3日(金) 9時30分
ITさんご返信ありがとうございます。
(5)もS1+S2とS3で分けて考えてみます。
(高校 2 年/質問者)

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346.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:m    日付:2020年1月3日(金) 0時46分
(5)について
>>rが决変化したときのS1+S3 の増減、S2の増減を考えるといいと思います。
目からうろこです。ありがとうございます。

ダメもとでラグランジュの未定乗数法で解いたらあっさり解けました。
ちゃんと(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x2になりました。すごい。
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345.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:IT    日付:2020年1月2日(木) 22時54分
(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x4 は記入ミスです。
おっしゃるとおり、(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x2ですね。
やや厳密性に欠けるかもしれませんが、
rが决変化したときのS1+S3 の増減、S2の増減を考えるといいと思います。

自作問題のようですね。
そうであれば先に書いたようにa=1,e=0 と少しシンプルにされた方が良いかと思います。

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344.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:みお    日付:2020年1月2日(木) 22時20分
ITさんご返信ありがとうございます。
(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x4
だと左辺が正で右辺が負になるので何か違うような気がしています。
最初は
(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x2
のときに最小になるかと思っていたのですが、自信はないです。
(高校 2 年/質問者)

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343.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:みお    日付:2020年1月2日(木) 22時13分
mさんご返信ありがとうございます。

a<0のときの場合分けを忘れてしまっていました。

(1)と(2)はよくある問題だと思います。
(3)はCとL1とで囲まれる部分の図形の面積ならよくある問題なのですが、
それを平行移動させて交点を持たせた時に面積がどのように変化するのかを
見てみたくて(3)〜(5)を作ってみたのですが、自分で作ってみて
解答もなく解けなくて苦労していました。

(4)は対称性を用いれば計算が少しましになりますね。
(5)はS1+S2+S3をrで微分して0になるところを探そうと思ったのですが、
計算が複雑で諦めてしまいました。


(高校 2 年/質問者)

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342.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:IT    日付:2020年1月2日(木) 22時14分
かなり計算が大変ですね。 私も少しやりかけましたが大変そうなので中断していました。

a=1,e=0 として後で調整しても本質的には変わらず、少し記述が簡単になると思います。
(それでも私は途中で断念しました)

(5)は、(x2-x1)+(x4-x3)=x3-x4 のときSは最小となるのではないでしょうか。

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341.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:m    日付:2020年1月2日(木) 21時35分
Original Size: 1700 x 2340, 219KB

画像3

訂正があります。
画像の(4)2行目
「常に成立するのでS1=S2のみ考える」ではなく「S1=S2なら自動的に成立するのでS1=S2のみ考える」
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340.Re: 4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:m    日付:2020年1月2日(木) 21時24分
Original Size: 1700 x 2340, 255KB Original Size: 1700 x 2340, 239KB

数式が多いので画像付きです。本文と合わせて読んでみてください。
// 計算ミスあるかもしれません。

CとL1とが異なる2点で接していることから
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e - (px+q) = a (x-α)^2 (x-β)^2
と表せる。
これをf(x)とおくとグラフy=f(x)はx=(γ=)(α+β)/2で線対称(左右対称)になります。

(2)はaが負のときの場合分けが足りません。

(3)
CとL2との交点のx座標を小さいものからx1,x2,x3,x4とすれば、
これはy=f(x)とy=(k=)r-qのグラフの交点のx座標になります。ここまでくればS1=S3はグラフからすぐに言えます。
CとL2で作られる図形とy=f(x)とy=kで作られる図形の面積が対応してるのがポイントです。(どちらも積分の形で書けば同じもの)

(4)
満たすべき条件は
0=(S2-S1=)∫[x1, x3] {f(x)-k} dx
となる。s, tを使ってx1=γ-s, x3=γ+tとおいて計算すると右辺はs, tの対称式になります。
x1, x2, x3, x4が解となる方程式f(x)-k=0をなんやかんやすると
s^2, t^2が(X-((α-β)/2)^2)^2-k=0の解という事が分かって
解と係数の関係を使ってs, tを削除するとkの満たす方程式が出てきます。これは解けてkが求まり、rも求まります。
// やけに計算が多いのでもっと簡単な方法があるのかも。

(5)は何も思いつきません。他の人に任せます。

意外と面白い問題でした。
ちなみにこの問題は学校の課題ですか、それとも自作ですか?
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337.4次関数と直線で囲まれる部分の面積  
名前:みお    日付:2020年1月1日(水) 12時29分
a,b,c,d,e,p,q(a≠0)は実数で
曲線C:y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,
直線L1:y=px+q
とし、CとL1とが異なる2点で接しているとき
(1)p,qをa,b,c,d,eの中から適当に用いて表せ。
(2)L1と平行な直線L2:y=px+rがCと異なる4点で交わるようなrの範囲をa,b,c,d,eの中から適当に用いて表せ。
(3)CとL2とで囲まれる部分の図形をx軸の小さい方からD1,D2,D3とし、その面積をS1,S2,S3とするとき、
   S1=S3であることを示せ。
(4)S1=S2=S3のとき、rをa,b,c,d,eの中から適当に用いて表せ。
(5)S=S1+S2+S3とする。rを変化させるとき、Sの最小値をa,b,c,d,eの中から適当に用いて表せ。

(1)はp=b(b^2-4ac)/(8a^2)+d,q=(b^2-4ac)/(64a^3)+e
(2)q<r<(3b^2-8ac)^2/(256a^3)(qは(1)の値)
(3)は、CとL2との交点のx座標を小さいものからx1,x2,x3,x4として、
   S1=∫-a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)dx{x=x1..x2}
   S3=∫-a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)dx{x=x3..x4}
   を計算し、x1+x4=x2+x3からS1=S3を示したのですが、もっと簡単に計算する方法があれば教えてください。
(4)(5)はS2=∫a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)dx{x=x2..x3}でS2を求めて実際に計算しようと思ったのですが無理でした。
分からないので教えてください。
(高校 2 年/質問者)

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