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364.Re: 虚数の計算  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 15時32分
通りすがりさんありがとうございます。

以後気をつけて勉強して行きます。
(高校 2 年/回答者)

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362.Re: 虚数の計算  
名前:通りすがり    日付:2020年1月5日(日) 15時25分
みお さん

数学を学ぶ際には,「活字を疑うこと」が大切です.「弘法にも筆の誤り」と言われるように,どんな人でも間違いをすることはあります.書いてあることや人の言葉(勿論,私の発言も含みます)をそのまま鵜呑みにするのは非常に危険ですから,できる限り確かめるようにしましょう.

画像の主張ですが,

 √1√(-1) = √(-1)

という明らかな反例があります.
(回答者)
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356.Re: 虚数の計算  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 8時23分
Original Size: 809 x 139, 35KB

学校で配られたプリントに書いてあったのち先生の説明がそうだったので
信用していました。
もう少し勉強します。
(高校 2 年/回答者)

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354.Re: 虚数の計算  
名前:通りすがり    日付:2020年1月5日(日) 3時33分
重箱の隅をつつくようで申し訳ないですが,このままでは御幣を与える恐れがありそうなので,若干の補足をさせていただきます.

> √a×√b=√abが成り立つのは、a≧0,b≧0のときに限ると決められているからです。

そうではなく,√の定義から,単に a≧0 かつ b≧0 ならば √a×√b=√ab が成り立つというだけです.

更に,この等式が成立するのは a≧0 かつ b≧0 の場合に限ったことではありません.a, b の内,少なくとも一方が非負ならば成立します.

> 負の数以外でこれが成り立つように特別に定義されたものが虚数単位iになります。

非負実数 a, b に対し√a√b=√(ab) が成立することと,虚数単位は何の関係もありません.前者はあくまで,√の定義から直接的に従うことです(下記参照).

みーさんのご質問に極めて端的に回答するならば,そもそも

 ・(√6)i,(√2)i がそれぞれ√(-6),√(-2) の定義である

からです.

以下,詳細をご説明します.若干理解するのが難しいかもしれません.

そもそも複素数 z,w の積 zw の定義は下記の様になされます.

-------------------------------
zw の定義

z,w に対し,z = a + bi,w = c + di を満たす実数 a,b,c,d が唯一つずつ存在する.そこで,

 zw = (ac-bd) + (ad + bc)i

と定める.

(参考: 定義から i^2 = -1 が成立し,(a+bi)(c+di) を,i^2 = -1 を満たす定数とみなし,

 (a+bi)(c+di) = ac + bdi^2 + (ad+bc)i = (ac-bd) + (ad+bc)i

と計算しても問題は生じない)
-------------------------------

従いまして,√(-6)√(-2) を計算するには,√(-6),√(-2) を上記のような a + bi の形に表さねば,(何らかの計算法則等を用いない限り)そもそも計算ができません.

ということで,√a の定義を明らかにせねばなりません.ところが実数 a に対し,方程式 z^2 = a の解は複素数の範囲において一般に 2 つあります.従いまして,「どちらを√aとして採用するか」という問題が生じます.この問題を解決するために,一般に,下記の通りに定められています.

-------------------------------
√a の定義

以下,複素数 z に対し,arg(z) で z の偏角(範囲は 0 以上 2 π未満)を表す(arg(0) = 0 と定める).

実数 a に対し,

 z^2 = a,arg(z) = arg(a)/2

を満たす複素数 z は唯一つ存在する.そこで,この z を√a と表す.即ち,

 [1] a≧0 のとき,z^2 = a であり,かつ,arg(z) = 0 を満たす z,つまり,z^2 = a を満たす非負実数 z(通常の√a)

 [2] a < 0 のとき,z^2 = a であり,かつ,arg(z) = π/2 を満たす z,つまり,z = (√(|a|))i

を√a と定める([2] の√(|a|) は [1] に従って定める).
-------------------------------

この定義と複素数の積の定義から,

√(-6)√(-2) = (0 + √6 i)(0 + √2 i) = -√6√2 = - √(12)

となります.

a,b が共に非負実数のとき,√a√b = √(ab) が成立するのは,以下がその理由となります.

-------------------------------
証明

a,b を非負実数とし,z = √a√bとおく.√の定義から√a,√b は共に非負の実数であり,実数における積と不等式の関係から,ab, z も共に非負の実数である.更に,

 z^2 = (√a√b)^2 = (√a)^2(√b)^2 = ab

が成立する.故に,z は 2 乗すると非負実数 ab となる非負実数なので,√a√b = z = √(ab) である.
-------------------------------
(回答者)
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353.Re: 虚数の計算  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 0時23分
√a×√b=√abが成り立つのは、a≧0,b≧0のときに限ると決められているからです。
負の数以外でこれが成り立つように特別に定義されたものが虚数単位iになります。
iを用いたときは
√-a=√(-1×a)=√(-1)×√a=i×√aとできます。
そうすることで
√(-a)×√(-b)=√(-1×a)×√(-1×b)=√(-1)×√a×√(-1)×√b=i×√a×i×√b=√ab×i^2=-√ab
と計算することができます。
(高校 2 年/回答者)

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351.虚数の計算  
名前:みー    日付:2020年1月4日(土) 22時41分
√-6*√-2=√12=2√3はなぜ間違いなのでしょうか。
参考書には先に√-6=√6iのようにiの形にして計算すると書いてありますが、なぜでしょうか。
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