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372.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 22時10分
理解出来ました。ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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371.Re: 極限値  
名前:IT    日付:2020年1月5日(日) 22時40分
>今回の場合に限らず、はさみうちの定理を使うときは、
>範囲に入っていて両端が同じ極限値になるのなら
>上下限を適当に押さえても問題ないのでしょうか?

そのとおりだと思います。

>でギリギリを狙ったのですが、ギリギリを狙ってはずすぐらいなら最後の部分を100/nぐらいにしても問題ないのでしょうか?
そうですね。
ただ、ギリギリの方が示し易い場合が多いかも知れませんね。

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370.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 20時33分
らすかるさん返信ありがとうございます。

> (単位立方体の対角線の長さが√3なので面を±2ずらせば十分)

今回の場合に限らず、はさみうちの定理を使うときは、
範囲に入っていて両端が同じ極限値じなるのなら
上下限を適当に押さえても問題ないのでしょうか?

(1)のS(n)のところも
(1/p)+(1/q)+(1/r)-(1/(pq))-(1/(qr))-(1/(rp))+(1/(pqr))-4/n<S(n)/n<(1/p)+(1/q)+(1/r)-(1/(pq))-(1/(qr))-(1/(rp))+(1/(pqr))+3/n
でギリギリを狙ったのですが、ギリギリを狙ってはずすぐらいなら最後の部分を100/nぐらいにしても問題ないのでしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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369.Re: 極限値  
名前:らすかる    日付:2020年1月5日(日) 17時56分
x≧0,y≧0,z≧0, (logp)x+(logq)y+(logr)z≦logn
の体積は
V=(logn)^3/{6(logp)(logq)(logr)}
ですが、
原点から(logp)x+(logq)y+(logr)z=lognまでの距離が
L=logn/√{(logp)^2+(logq)^2+(logr)^2}
であることから、適当に
V・{(L-2)/L}^3<T(n)<V・{(L+2)/L}^3
ぐらいに押さえておけばよいと思います。
(単位立方体の対角線の長さが√3なので面を±2ずらせば十分)
明らかにlim{(L-2)/L}^3=lim{(L+2)/L}^3=1ですから
説明だけすれば計算する必要はないと思います。

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367.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 17時4分
ややこしい問題文で申し訳ございません。

p^s・q^t・r^uの形に素因数分解されるものだとすると、
はさみうちの定理で求まりそうですが、何で挟めば良いでしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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366.Re: 極限値  
名前:IT    日付:2020年1月5日(日) 17時26分
らすかるさんへ

問題文の「p,q,rのいずれかでのみで割り切れるものの個数をT(n)とする。」

は、微妙な表現ですね。私も最初は、らすかるさんと同様の解釈をしましたが

「(2)が(p^x)*(q^y)*(r^z)≦nを満たす負でない整数(x,y,z)の組の個数を求めれば良さそう」
とあったので、「n以下の自然数でp,q,r 以外に素因数を持たないのものの個数」と考えました。

原題の表現が正確にどうだったか、解答がどうなっているか不明のようなので、いずれかはっきりしませんね。

みおさんへ

正しいかどうか検証していませんが下記に同じ(?)問題と略解がありますね
http://math.a.la9.jp/prime3.htm

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365.Re: 極限値  
名前:らすかる    日付:2020年1月5日(日) 16時32分
> ITさん

> (p,q,r)=(2,3,5),n=2*3*5=30 のとき 
>  T(n)=T(30)=18 (1を除くなら17)ですが、

2で割り切れて3でも5でも割り切れないものは
2, 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28 の8個
3で割り切れて2でも5でも割り切れないものは
3, 9, 21, 27 の4個
5で割り切れて2でも3でも割り切れないものは
5, 25 の2個
計14個
よって2,3,5のうちのいずれか一つだけで割り切れるものは14個
と思っているのですが、
問題の解釈が間違っているのでしょうか。

# T(30)=18から考えると、もしかして
# 「p,q,r以外の素数で割り切れないもの」
# あるいは
# 「p^s・q^t・r^uの形に素因数分解されるもの」
# と解釈するということですか?
# もしそうだとしたら、この問題文ではちょっと納得できませんが、
# 私の式は全く違いますので無視して下さい。

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363.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 15時31分
書店でちらっと参考書を立ち読みした時に載っていたものです。
どこかの予備校が出している参考書でした。

気になったので解いてみようと思ったのですが、
(2)が解けなかったので質問させていただきました。

(高校 2 年/質問者)

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361.Re: 極限値  
名前:IT    日付:2020年1月5日(日) 15時16分
>自作の問題ではないですが解答が無いので分からないです。
出典は何ですか?

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360.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 13時34分
ITさんご返信ありがとうございます。

xyz空間内でx≧0,y≧0,z≧0, (logp)x+(logq)y+(logr)z≦lognの領域に
1辺が1の立方体が最大何個入るのかが下側かなと思っています。
(logp)(x-1)+(logq)(y-1)+(logr)(z-1)≦lognの領域に
1辺が1の立方体が最大何個入るのかが上側かと思ったのですが、
もっと詰められそうな気がしています。
極限値は1/(6*logp*logq*logr)だと思っていますが自信はないです。
(高校 2 年/質問者)

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359.Re: 極限値  
名前:IT    日付:2020年1月5日(日) 13時30分
らすかるさん>
> n=kpqrのときT(n)=n{pq+qr+rp-2(p+q+r)+3}/(pqr)

(p,q,r)=(2,3,5),n=2*3*5=30 のとき 
 T(n)=T(30)=18 (1を除くなら17)ですが、
 n{pq+qr+rp-2(p+q+r)+3}/(pqr)={pq+qr+rp-2(p+q+r)+3}=14 になるので
違っていそうです。

(p,q,r)=(2,3,5),n=60 のときは 2,3,5 以外の素数が増えるのでT(60)=26と増え方が小さくなりますね。


上からの押さえは、かなり粗いので、もっと小さくおさえられとは思いますが

T(n) ≦ (1+logn/logp)(1+logn/logq)(1+logn/logr)
T(n)/(logn)^3≦ (1/logn+1/logp)(1/logn+1/logq)(1/logn+1/logr)→1/((logp)(logq)(logr)) (n→∞) は言えると思います。

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357.Re: 極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 9時8分
らすかるさんご返信ありがとうございます。
> n=kpqrのとき T(n)=n{pq+qr+rp-2(p+q+r)+3}/(pqr)

の部分はどうやって出て来たのでしょうか?
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355.Re: 極限値  
名前:らすかる    日付:2020年1月5日(日) 4時50分
n=kpqrのときT(n)=n{pq+qr+rp-2(p+q+r)+3}/(pqr)
つまりnに比例するので
limT(n)/(logn)^3≧Clim{[n/pqr]/(logn)^3}=∞
となるのでは?

# もし私の勘違いでしたらご容赦下さい。

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352.極限値  
名前:みお    日付:2020年1月5日(日) 0時2分
p,q,rを異なる素数、nを自然数とするとき、n以下の数でp,q,rのいずれかで割り切れるものの個数をS(n)、p,q,rのいずれかでのみで割り切れるものの個数をT(n)とする。
(1)limS(n)/n(n→∞)を求めよ。
(2)limT(n)/(logn)^3(n→∞)を求めよ。

(1)はS(n)=[n/p]+[n/q]+[n/r]-[n/(pq)]-[n/(qr)]-[n/(rp]+[n/(pqr)]なので
x-1<[x]≦xを用いて
(1/p)+(1/q)+(1/r)-(1/(pq))-(1/(qr))-(1/(rp))+(1/(pqr))-4/n<S(n)/n<(1/p)+(1/q)+(1/r)-(1/(pq))-(1/(qr))-(1/(rp))+(1/(pqr))+3/n
より、はさみうちの定理から
limS(n)/n(n→∞)=(1/p)+(1/q)+(1/r)-(1/(pq))-(1/(qr))-(1/(rp))+(1/(pqr))
になるのですが、
(2)が(p^x)*(q^y)*(r^z)≦nを満たす負でない整数(x,y,z)の組の個数を求めれば良さそうなのですが、
うまくはさみうちの定理が使えないです。
体積を考えて
(1/6)*(logn/logp)(logn/logq)(logr)≦T(n)<?
で挟めそうなのですが上側がわからないです。

自作の問題ではないですが解答が無いので分からないです。
(高校 2 年/質問者)

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