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392.Re: 双子素数問題と同値の命題(同値である事の証明)  
名前:CEGIPO    日付:2020年1月10日(金) 18時43分
ありがとうございます。

後ほど、双子素数問題無限にあるか?問題
に関する考察を(途中までですが)アップする予定です。
もちろん証明の成功・完結には至っていないのですが。

今度は前の失敗(早とちりと慌てん坊・浅慮)の二の舞に
ならないようにじっくり見直してから
アップするつもりです。

(少し長くなってるので分割するかもしれません)

115-36-48-229.aichiwest1.commufa.jp (115.36.48.229)
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391.Re: 双子素数問題と同値の命題(同値である事の証明)  
名前:らすかる    日付:2020年1月10日(金) 18時20分
正しいと思います。
i121-114-88-228.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.88.228)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; rv:72.0) Gecko/20100101 Firefox/72.0

390.双子素数問題と同値の命題(同値である事の証明)  
名前:CEGIPO    日付:2020年1月10日(金) 17時44分
(この発言は論証及び書き方の練習も兼ねています。
わかりにくいところ・不備があれば適宜御指摘ください。)

次の論証は正しいでしょうか?
(冗長部分はなるべく排除したつもりですが
まだちょっと長くなってます)

---------------------------------------

/**********************/
本論証の目的は

命題A⇔命題Bを示すこと。
/**********************/

/*--------------------------*/
命題A:
「双子素数は無限組存在する」
/*--------------------------*/

※命題A自体は正しいかどうか未解決問題。

/*-------------------------------*/
命題B:
「(a,bは自然数として)
6ab-a-b,
6ab+a-b,
6ab+a+b
のいずれの形式でも表せない自然数が
無限に存在する」
/*-------------------------------*/

そのために次の補題Y,Z,W
が成り立つ事から先に示す。
/****************************/
補題Y:

6m-1=QR(m,Q,R:自然数)の時

Q≡1かつR≡-1(mod.6)

Q≡-1かつR≡1(mod.6)
のいずれかになる。
/****************************/
/****************************/
補題Z:

6m+1=QR(m,Q,R:自然数)の時

Q≡-1かつR≡-1(mod.6)

Q≡1かつR≡1(mod.6)
のいずれかになる。
/****************************/

/************************/
補題W:

命題C⇔命題D
/************************/

/*-------------------------------*/
命題C:
「mを自然数として
(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。」
/*-------------------------------*/

/*-------------------------------*/
命題D:
「mは6ab-a-b形式で表せる
または
mは6ab+a-b形式で表せる
または
mは6ab+a+b形式で表せる
(m,a,b:自然数)」
/*-------------------------------*/

/******************************************/
/** 以下、順に証明する ********************/
/******************************************/

1:補題Yの証明
2:補題Zの証明
3:補題Y,Zを用いて
__補題Wのうち、命題C⇒命題Dの証明
4:補題Wのうち、命題D⇒命題Cの証明
5:¬命題C⇔¬命題Dの証明(確認)
6:命題A⇔命題Bの証明

の順に証明する。

/******************************************/

【1:補題Yの証明】

Q,Rと積QRのmod.6に関する剰余表を考えると

___Q____0___1___2___3___4___5
_R____QR
_0______0___0___0___0___0___0
_1______0___1___2___3___4___5
_2______0___2___4___0___2___4
_3______0___3___0___3___0___3
_4______0___4___2___0___4___2
_5______0___5__ 4___3___2___1

6m-1=QR≡5(≡-1)(mod.6)を満たすのは
Q≡1かつR≡5≡-1(mod.6)
の場合か
Q≡5≡-1かつR≡1(mod.6)
の時のみ。
よって、補題Yは成り立つ。

/**************************************/

【2:補題Zの証明】

(【1】とほぼ同様に、)

Q,Rと積QRのmod.6に関する剰余表を考えると

___Q____0___1___2___3___4___5
_R____QR
_0______0___0___0___0___0___0
_1______0___1___2___3___4___5
_2______0___2___4___0___2___4
_3______0___3___0___3___0___3
_4______0___4___2___0___4___2
_5______0___5__ 4___3___2___1

6m+1=QR≡1(mod.6)を満たすのは
Q≡1かつR≡1(mod.6)
の場合か
Q≡5≡-1かつR≡5≡-1(mod.6)
の時のみ。
よって、補題Zは成り立つ。

/**************************************/

【3:補題Wのうち、命題C⇒命題Dの証明】

mを自然数として
(6m-1,6m+1)が双子素数でないとき、
6m-1,6m+1の少なくとも一方は素数ではない。
これより、

《3−1:6m-1が素数ではない時》

6m-1は奇数で3の倍数でないから
約数に2及び3を含まない。
また、6m-1≡-1(mod.6)

よって、適当な自然数q1,r1をとって

6m-1=(6q1-1)(6r1+1)...[式1]
とおける(補題Yを用いた)。

式変形すると
[式1]は

6m-1=(6q1-1)(6r1+1)
m=6q1r1+q1-r1


《3−2:6m+1が素数ではない時》

6m+1は奇数で3の倍数でないから
約数に2及び3を含まない。
また、6m+1≡1(mod.6)

よって、適当な自然数q2,r2,q3,r3をとって

6m+1=(6q2-1)(6r2-1)...[式2]
または
6m+1=(6q3+1)(6r3+1)...[式3]
とおける。
(補題Zを用いた)。

それぞれ式変形すると

[式2]は
6m+1=(6q2-1)(6r2-1)
m=6q2r2-q2-r2

[式3]は
6m+1=(6q3+1)(6r3+1)
m=6q3r3+q3+r3


《共通》

これら(《3-1》,《3-2》)の結果は
命題C⇒命題Dが成り立つ事をそのまま示している。

/**************************************/

【4:補題Wのうち、命題D⇒命題Cの証明】

mは6ab-a-b形式で表せる
または
mは6ab+a-b形式で表せる
または
mは6ab+a+b形式で表せる

のいずれかが成り立つ時だから

《4−1:m=6ab-a-bで示せた場合》

(6m-1,6m+1)
=(6(6ab-a-b)-1,6(6ab-a-b)+1)
=(6(6ab-a-b)-1,(6a-1)(6b-1))

したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。

《4−2:m=6ab+a-bで示せた場合》

(6m-1,6m+1)
=(6(6ab+a-b)-1,6(6ab+a-b)+1)
=((6a-1)(6b+1),6(6ab+a-b)+1)

したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。

《4−3:m=6ab+a+bで示せた場合》

(6m-1,6m+1)
=(6(6ab+a+b)-1,6(6ab+a+b)+1)
=(6(6ab+a+b)-1,(6a+1)(6b+1))

したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。

すなわち、命題D⇒命題C

/*------------------------------------*/

よって、補題W:命題C⇔命題Dが言えた。

/**************************************/

【5:¬命題C⇔¬命題Dの証明(確認)】

補題Wの対偶も補題Wと同値だから

『¬命題D⇔¬命題C』

も成り立つ。

反対向き

『¬命題C⇔¬命題D』

も成り立つ。

これをあらためて文章で書き直すと、


/*--------------------------*/
¬命題C:
「mを自然数として
(6m-1,6m+1)は双子素数である。」
/*--------------------------*/

/*--------------------------*/
¬命題D:
「mは
6ab-a-b形式でも
6ab+a-b形式でも
6ab+a+b形式でも表せない
(m,a,b:自然数)」
/*--------------------------*/

の2命題が同値。


/**************************************/

【6:命題A⇔命題Bの証明】

あとは自然数mを一般化して考えればよい。

すなわち、¬命題C⇔¬命題Dより明らかに


/*------------------------------------*/
命題A:
「双子素数((6m-1,6m+1))は無限組存在する
(m:自然数)」
/*-----------------------------------*/

/*-----------------------------------*/
命題B:
「(a,bは自然数として)
6ab-a-b,
6ab+a-b,
6ab+a+b
のいずれの形式でも表せない自然数mが
無限に存在する」
/*-----------------------------------*/


が成り立つ。 事が言えた。

(※注:命題A自体(あるいは命題B自体)
を証明したのではなく、命題A⇔命題Bを証明した。)

(証明終)


/**************************************/
※補足:
なお、双子素数の組の内、(3,5)は
唯一(6m-1,6m+1)形式で表せませんが
上記論証には影響しないので
特に言及しませんでした。
/**************************************/
(社会人/質問者)

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