（この発言は論証及び書き方の練習も兼ねています。
わかりにくいところ・不備があれば適宜御指摘ください。）
次の論証は正しいでしょうか？
（冗長部分はなるべく排除したつもりですが
まだちょっと長くなってます）
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/**********************/
本論証の目的は
命題A⇔命題Bを示すこと。
/**********************/
/*--------------------------*/
命題A:
「双子素数は無限組存在する」
/*--------------------------*/
※命題A自体は正しいかどうか未解決問題。
/*-------------------------------*/
命題B:
「(a,bは自然数として)
6ab-a-b,
6ab+a-b,
6ab+a+b
のいずれの形式でも表せない自然数が
無限に存在する」
/*-------------------------------*/
そのために次の補題Y,Z,W
が成り立つ事から先に示す。
/****************************/
補題Y:
6m-1=QR(m,Q,R:自然数)の時
Q≡1かつR≡-1(mod.6)
か
Q≡-1かつR≡1(mod.6)
のいずれかになる。
/****************************/
/****************************/
補題Z:
6m+1=QR(m,Q,R:自然数)の時
Q≡-1かつR≡-1(mod.6)
か
Q≡1かつR≡1(mod.6)
のいずれかになる。
/****************************/
/************************/
補題W：
命題C⇔命題D
/************************/
/*-------------------------------*/
命題C:
「mを自然数として
(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。」
/*-------------------------------*/
/*-------------------------------*/
命題D:
「mは6ab-a-b形式で表せる
または
mは6ab+a-b形式で表せる
または
mは6ab+a+b形式で表せる
(m,a,b:自然数)」
/*-------------------------------*/
/******************************************/
/** 以下、順に証明する ********************/
/******************************************/
1:補題Yの証明
2:補題Zの証明
3:補題Y,Zを用いて
__補題Wのうち、命題C⇒命題Dの証明
4:補題Wのうち、命題D⇒命題Cの証明
5:¬命題C⇔¬命題Dの証明（確認）
6:命題A⇔命題Bの証明
の順に証明する。
/******************************************/
【1:補題Yの証明】
Q,Rと積QRのmod.6に関する剰余表を考えると
___Q____0___1___2___3___4___5
_R____QR
_0______0___0___0___0___0___0
_1______0___1___2___3___4___5
_2______0___2___4___0___2___4
_3______0___3___0___3___0___3
_4______0___4___2___0___4___2
_5______0___5__ 4___3___2___1
6m-1=QR≡5(≡-1)(mod.6)を満たすのは
Q≡1かつR≡5≡-1(mod.6)
の場合か
Q≡5≡-1かつR≡1(mod.6)
の時のみ。
よって、補題Yは成り立つ。
/**************************************/
【2:補題Zの証明】
（【1】とほぼ同様に、）
Q,Rと積QRのmod.6に関する剰余表を考えると
___Q____0___1___2___3___4___5
_R____QR
_0______0___0___0___0___0___0
_1______0___1___2___3___4___5
_2______0___2___4___0___2___4
_3______0___3___0___3___0___3
_4______0___4___2___0___4___2
_5______0___5__ 4___3___2___1
6m+1=QR≡1(mod.6)を満たすのは
Q≡1かつR≡1(mod.6)
の場合か
Q≡5≡-1かつR≡5≡-1(mod.6)
の時のみ。
よって、補題Zは成り立つ。
/**************************************/
【3：補題Wのうち、命題C⇒命題Dの証明】
mを自然数として
(6m-1,6m+1)が双子素数でないとき、
6m-1,6m+1の少なくとも一方は素数ではない。
これより、
《3−1：6m-1が素数ではない時》
6m-1は奇数で3の倍数でないから
約数に2及び3を含まない。
また、6m-1≡-1(mod.6)
よって、適当な自然数q1,r1をとって
6m-1=(6q1-1)(6r1+1)...[式1]
とおける(補題Yを用いた)。
式変形すると
[式1]は
6m-1=(6q1-1)(6r1+1)
m=6q1r1+q1-r1
《3−2：6m+1が素数ではない時》
6m+1は奇数で3の倍数でないから
約数に2及び3を含まない。
また、6m+1≡1(mod.6)
よって、適当な自然数q2,r2,q3,r3をとって
6m+1=(6q2-1)(6r2-1)...[式2]
または
6m+1=(6q3+1)(6r3+1)...[式3]
とおける。
(補題Zを用いた)。
それぞれ式変形すると
[式2]は
6m+1=(6q2-1)(6r2-1)
m=6q2r2-q2-r2
[式3]は
6m+1=(6q3+1)(6r3+1)
m=6q3r3+q3+r3
《共通》
これら（《3-1》,《3-2》）の結果は
命題C⇒命題Dが成り立つ事をそのまま示している。
/**************************************/
【4：補題Wのうち、命題D⇒命題Cの証明】
mは6ab-a-b形式で表せる
または
mは6ab+a-b形式で表せる
または
mは6ab+a+b形式で表せる
のいずれかが成り立つ時だから
《4−1:m=6ab-a-bで示せた場合》
(6m-1,6m+1)
=(6(6ab-a-b)-1,6(6ab-a-b)+1)
=(6(6ab-a-b)-1,(6a-1)(6b-1))
したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。
《4−2:m=6ab+a-bで示せた場合》
(6m-1,6m+1)
=(6(6ab+a-b)-1,6(6ab+a-b)+1)
=((6a-1)(6b+1),6(6ab+a-b)+1)
したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。
《4−3：m=6ab+a+bで示せた場合》
(6m-1,6m+1)
=(6(6ab+a+b)-1,6(6ab+a+b)+1)
=(6(6ab+a+b)-1,(6a+1)(6b+1))
したがって、(6m-1,6m+1)は双子素数ではない。
すなわち、命題D⇒命題C
/*------------------------------------*/
よって、補題W:命題C⇔命題Dが言えた。
/**************************************/
【5：¬命題C⇔¬命題Dの証明(確認)】
補題Wの対偶も補題Wと同値だから
『¬命題D⇔¬命題C』
も成り立つ。
反対向き
『¬命題C⇔¬命題D』
も成り立つ。
これをあらためて文章で書き直すと、
『
/*--------------------------*/
¬命題C:
「mを自然数として
(6m-1,6m+1)は双子素数である。」
/*--------------------------*/
/*--------------------------*/
¬命題D:
「mは
6ab-a-b形式でも
6ab+a-b形式でも
6ab+a+b形式でも表せない
(m,a,b:自然数)」
/*--------------------------*/
の2命題が同値。
』
/**************************************/
【6:命題A⇔命題Bの証明】
あとは自然数mを一般化して考えればよい。
すなわち、¬命題C⇔¬命題Dより明らかに
『
/*------------------------------------*/
命題A:
「双子素数((6m-1,6m+1))は無限組存在する
(m:自然数)」
/*-----------------------------------*/
⇔
/*-----------------------------------*/
命題B:
「(a,bは自然数として)
6ab-a-b,
6ab+a-b,
6ab+a+b
のいずれの形式でも表せない自然数mが
無限に存在する」
/*-----------------------------------*/
』
が成り立つ。 事が言えた。
（※注：命題A自体（あるいは命題B自体）
を証明したのではなく、命題A⇔命題Bを証明した。）
（証明終）
/**************************************/
※補足：
なお、双子素数の組の内、(3,5)は
唯一(6m-1,6m+1)形式で表せませんが
上記論証には影響しないので
特に言及しませんでした。
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(社会人/質問者)
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