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49．Re: 因数分解  
名前：みお    日付：2019年9月21日(土) 23時59分
らすかるさん返信ありがとうございます。
らすかるさんが無理なら(1)以外に存在することを
示すのはほぼ無理だと思います。

元はと言えば私が実験をしていてこういうことが
成り立つのではないかと自分で思っただけですから、
実際に問題として出されたわけではありません。

私のくだらない質問に付き合ってくださってありがとうございます。
(高校 2 年/質問者)
sp49-98-67-244.mse.spmode.ne.jp (49.98.67.244)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 13_0 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/13.0 Mobile/15E148 Safari/604.1

48．Re: 因数分解  
名前：らすかる    日付：2019年9月21日(土) 11時41分
方法が見つかっていないだけでうまい方法があるかも知れませんので
「高校数学の範囲では無理」と断定することは(誰にも)できないと思いますが、
私には難しくて無理っぽいです。
下の(1)以外で因数分解できるものがないかどうかしばらく探してみましたが、
因数分解できるものは見つけられませんでした。
pl93215.ag1001.nttpc.ne.jp (1.33.72.31)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:69.0) Gecko/20100101 Firefox/69.0

47．Re: 因数分解  
名前：みお    日付：2019年9月21日(土) 7時14分
らすかるさんご返信ありがとうございます。
aが81mの時でも因数分解できますね。
実験では気が付きませんでした。

> 問題はそれ以外が因数分解できないことの証明ですね。

かなり難しそうですが、やっぱり
これを示すのは高校数学の範囲では無理なのでしょうか？
(高校 2 年/質問者)
sp49-106-220-238.msf.spmode.ne.jp (49.106.220.238)
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46．Re: 因数分解  
名前：らすかる    日付：2019年9月20日(金) 17時3分
(81m,none)は違いますね。
例えば(a,b)=(81×5,81×4)は因数分解できますし、
一般に((3^k)(3m+1),(3^k)(3n+2))は因数分解できます。
(a,b)=((3^k)(3m+1),(3^k)(3n+2)),((3^k)(3m+2),(3^k)(3n+1)) … (1)
（k≧0,m≧0,n≧0,m+n≠0）
とまとめられますね。
(a,b)=(3m+1,3n+2)の場合は
x^a+x^b+1にx=ω（1の虚数三乗根）を代入すると0になりますので
x^2+x+1を因数に持つことがわかります。(3m+2,3n+1)も同様です。
(a,b)=((3^k)(3m+1),(3^k)(3n+2))の場合は
(x^(3^k))^(3m+1)+(x^(3^k))^(3n+2)+1となりますので
x^(2(3^k))+x^(3^k)+1を因数に持ちますね。
ですから(1)が因数分解できることの証明は簡単です。
問題はそれ以外が因数分解できないことの証明ですね。
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45．Re: 因数分解  
名前：みお    日付：2019年9月20日(金) 12時42分
m,nは整数です。
因数に全てx^2+x+1を持つと書きましたが、
ほかの因数を持つ場合もありました。
すみません。
(高校 2 年/質問者)
sp49-98-75-78.mse.spmode.ne.jp (49.98.75.78)
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44．Re: 因数分解  
名前：みお    日付：2019年9月20日(金) 12時39分
無いと言う意味です。
aが81の倍数の時、bはありませんでした。
(高校 2 年/質問者)
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43．Re: 因数分解  
名前：らすかる    日付：2019年9月20日(金) 12時23分
noneとはどういう意味ですか？
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42．因数分解  
名前：みお    日付：2019年9月20日(金) 12時18分
a,bを自然数とし、f(a,b)=x^a+x^b+1で定義するとき、
f(a,b)がxの整式の範囲で因数分解できるような(a,b)の組を求めたいのですが、
実験をした限りではおそらく、

(a,b)=(3m+1,3n+2),(3m+2,3n+1),(3(3m+1),3(3n+2)),(3(3m+2),3(3m+1)),(9(3m+1),9(3n+2)),(9(3m+2),9(3m+1)),(27(3m+1),27(3n+2)),(27(3m+2),27(3m+1)),(81m,none) (m=0,n≧1),(m≧1,n≧0)

だと思うのですがこれを証明することができません。
全て(x^2+x+1)を因数に持つような気がするのですが・・・。
(高校 2 年/質問者)
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