何か間違いがあれば教えてください。できればだれか確認してください。
答えは4。
f(6^6) = 2, 3では矛盾します。
f(6^6) = 2とすると
6^6 = (6^3)^2 = (6^3)^f(6^6)より
2 = f(6^6) = f(6^3)^f(6^6) = f(6^3)^2
f(6^3)≧2だから2 ≧ 2^2。矛盾。
（3も同様）
f(6^6) = 4となるような関数fを作ります。
f(n) = f(√n)^2 (nは平方数)
= 2 (nは平方数でない)
でfを定める。
このfに対して
(1) 条件「f(m^f(n))=f(m)^f(n)」を満たすこと
(2) f(6^6)=4
を示す。
(1)
補題:
m, n≧2, k≧1とする。nが2^kの倍数ならばf(m^n) = f(m^{n/(2^k)})^(2^k)
証明: kに関する帰納法
k=1のとき
f(m^n) = f(m^(n/2))^2
kのとき成り立つとしてk+1のとき
f(m^n) = f(m^(n/2))^2 = {f(m^((n/2)/(2^k))^(2^k)}^2 = f(m^{n/(2^(k+1))})^(2^(k+1))
（2つ目の等号で帰納法の仮定を使った。）
補題が示せた。
数列{a(k)}をa(1) = 2, a(k+1) = a(k)^2 (k≧1)で定める。
A = {a(k) | k ≧ 1} = {2, 4, 16, 256, 65536, ...}とおく。f(n)の値はAの元となる。
よって、任意のm(≧2), k(≧1)に対し、f(m^(a(k))) = f(m)^(a(k))となることを示せば十分。
任意にmをとり、kに関する帰納法でしめす。
k=1のとき
fの定義からf(m^2) = f(m)^2よりok
kのとき成り立つと仮定してk+1のとき
a(k+1)はa(k)の倍数でa(k)は2^lの形にかけるから（∵a(k)は素因数を2しか持たない）
補題により
f(m^(a(k+1))) = f(m^(a(k+1)/a(k)))^a(k)
= f(m^(a(k)))^a(k)
帰納法の仮定より
= {f(m)^(a(k))}^(a(k))
= f(m)^(a(k+1))
示せた。
よって関数fは条件「f(m^f(n))=f(m)^f(n)」を満たす。
(2)
6^6 = 2^6 * 3^6より
f(6^6) = f((2^3*3^2)^2) = 2^2 = 4
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