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444.Re: 整数の問題  
名前:みお    日付:2020年1月18日(土) 1時32分
らすかるさんご返信ありがとうございます。pによって場合わけをするという意味でしたが
そうなると解答が無数にあるのですね。
もっとl、m、nを限定しないと解答が定まらないことが分かりました。

ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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443.Re: 整数の問題  
名前:らすかる    日付:2020年1月18日(土) 1時9分
例えばl=2pとおと
(l,m,n)=(2p,2p+1,4p^2+2p),(2p,2p+2,2p^2+2p),(2p,2p+4,p^2+2p),(2p,3p,6p),(2p,4p,4p)
という5つの解が得られます。
m=3pとおくと
(l,m,n)=((3p+1)/2,3p,3p(3p+1)/2),(3(p+1)/2,3p,3p(p+1)/2),(3(p+3)/2,3p,p(p+3)/2),…
が得られますが、ここで問題の解釈に疑問が生じました。
(l,m,n)=((3p+1)/2,3p,3p(3p+1)/2)というのはpが奇素数でないと成り立ちませんが、
(2)はpによって場合分けするのでしょうか、それとも
任意のpに対して成り立つようなl,m,nを求めるのでしょうか?
この問題文ならば「pによって場合分けする」ことになるように思えますが、
そうなるとおそらく解や場合分けは無数にあって解答が書けません。

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442.整数の問題  
名前:みお    日付:2020年1月17日(金) 23時40分
l,m,nをl≦m≦nを満たす自然数、pを素数とするとき
(1)1/m+1/n=1/pを満たす(m,n)の組を求めよ。
(2)1/l+1/m+1/n=1/pを満たす(l,m,n)の組を求めよ。

(1)は、(m-p)(n-p)=p^2から(m-p,n-p)=(1,p^2),(p,p),(-p^2,-1),(-p,-p)
(m,n)=(1+p,p^2+p),(2p,2p),(-p^2+p,-1+p),(0,0)
(m,n)≠(0,0)かつ自然数なので
(m,n)=(1+p,p^2+p),(2p,2p)

(2)は(l-p)(m-p)(n-p)=積の形にしようと思ったのですが
無理でした。
すぐに分かる解として(l,m,n)=(3p,3p,3p)があるのですが、
それ以外に解はあるのでしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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「442.整数の問題」への返信


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