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55.Re: 正五角形  
名前:みお    日付:2019年9月29日(日) 23時36分
らすかるさん、ご解答ありがとうございます。

面積の計算の途中でプラスマイナスを計算間違いをしている部分があって完全に変な答えになってしまっていました。
私も何とか解答にたどりつくことが出来ました。
ありがとうございました。
(高校 2 年/質問者)

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54.Re: 正五角形  
名前:らすかる    日付:2019年9月29日(日) 22時41分
最小値・最大値とも結構違っているようです。

0≦θ≦π/10では
(面積)=sin2α-{tan(π/10+θ)+tan(π/5-θ)}(cosα)^2/2
tan(π/10+θ)+tan(π/5-θ)
={sin(π/10+θ)cos(π/5-θ)+cos(π/10+θ)sin(π/5-θ)}/{cos(π/10+θ)cos(π/5-θ)}
=sin(3π/10)/{cos(π/10+θ)cos(π/5-θ)}
=2sin(3π/10)/{cos(3π/10)+cos(2θ-π/10)} … (1) (∵積和公式)
であり0≦θ≦π/10なので
cos(2θ-π/10)はθ=π/20のとき最大でθ=0,π/10のとき最小
よって(1)はθ=π/20のとき最小でθ=0,π/10のとき最大なので
面積はθ=π/20のとき最大でθ=0,π/10のとき最小となります。

π/10≦θ≦π/4では
(面積)=sin2α/2+{tan(3π/10-θ)-tan(π/5-θ)}(cosα)^2/2
tan(3π/10-θ)-tan(π/5-θ)
={sin(3π/10-θ)cos(π/5-θ)-cos(3π/10-θ)sin(π/5-θ)}/{cos(3π/10-θ)cos(π/5-θ)}
=sin(π/10)/{cos(3π/10-θ)cos(π/5-θ)}
=2sin(π/10)/{cos(π/2-2θ)+cos(π/10)} (∵積和公式)
=2sin(π/10)/{sin2θ+cos(π/10)} … (2)
でありπ/10≦θ≦π/4なので
sin2θはθ=π/10のとき最小でθ=π/4のとき最大
よって(2)はθ=π/10のとき最大でθ=π/4のとき最小なので
面積もθ=π/10のとき最大でθ=π/4のとき最小となります。

従って面積は
θ=0〜π/20で増加
θ=π/20〜π/4で減少(θ=π/10のときの面積がθ=0のときの面積と同じ)
となりますので、θ=π/20のとき最大、θ=π/4のとき最小です。
面積の最大値は
sin2α-{sin(3α/2)/{cos(3α/2)+1}}(cosα)^2
=3√(10+2√5)/8-(1+√5)/4
(=3sin2α/2-cosα)
≒0.61756778
最小値は
sin2α/2+{sin(α/2)/{cos(α/2)+1}}(cosα)^2
={2+√5-√(5+2√5)}/2
(={tan(α/4)+1}/2)
≒0.57919222
となります。

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53.Re: 正五角形  
名前:みお    日付:2019年9月29日(日) 20時8分
Xさんご返信ありがとうございます。

0≦θ≦π/4で考えても最小値の候補がθ=π/20とπ/4のときの2つ考えられます。
どちらが小さいかは実際に値を代入してもなかなか比較できなくて困っています。
(高校 2 年/質問者)

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52.Re: 正五角形  
名前:X    日付:2019年9月29日(日) 19時10分
>>x軸とOAとのなす角〜別々に面積を考えると、
対称性から
0≦θ≦π/4
の範囲で考えれば十分です。
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51.正五角形  
名前:みお    日付:2019年9月29日(日) 15時14分
原点Oを中心とする半径1の円に正五角形ABCDEが内接していて、
正五角形ABCDEは円に内接しながら自由に回転することができます。
この正五角形ABCDEのうち第1象限にある部分の面積の最大値と最小値を求めたいです。

x軸とOAとのなす角をθとおくと、0≦θ≦2π/5の範囲で考えれば良いので、
0≦θ≦π/10とπ/10≦θ≦2π/5の範囲でそれぞれ図形が異なるので別々に面積を考えると、
α=π/5とすると、
最大値はθ=0、α、4αのときに(1/2)*(cosα+cos2α*tanα)をとりそうですが、
最小値はθ=α/2のときに(1/2)cosα+sin(α/2)*cos2α/cos(3α/2)をとるか、
またはθ=5α/2のときにcos2α/((√2)*cos(α/2))をとるかのどちらかが最小値になると思うのですが、
どちらが最小値になるのかがわからないです。
教えて下さい。
(高校 2 年/質問者)

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