最小値・最大値とも結構違っているようです。
0≦θ≦π/10では
(面積)=sin2α-{tan(π/10+θ)+tan(π/5-θ)}(cosα)^2/2
tan(π/10+θ)+tan(π/5-θ)
={sin(π/10+θ)cos(π/5-θ)+cos(π/10+θ)sin(π/5-θ)}/{cos(π/10+θ)cos(π/5-θ)}
=sin(3π/10)/{cos(π/10+θ)cos(π/5-θ)}
=2sin(3π/10)/{cos(3π/10)+cos(2θ-π/10)} … (1) （∵積和公式）
であり0≦θ≦π/10なので
cos(2θ-π/10)はθ=π/20のとき最大でθ=0,π/10のとき最小
よって(1)はθ=π/20のとき最小でθ=0,π/10のとき最大なので
面積はθ=π/20のとき最大でθ=0,π/10のとき最小となります。
π/10≦θ≦π/4では
(面積)=sin2α/2+{tan(3π/10-θ)-tan(π/5-θ)}(cosα)^2/2
tan(3π/10-θ)-tan(π/5-θ)
={sin(3π/10-θ)cos(π/5-θ)-cos(3π/10-θ)sin(π/5-θ)}/{cos(3π/10-θ)cos(π/5-θ)}
=sin(π/10)/{cos(3π/10-θ)cos(π/5-θ)}
=2sin(π/10)/{cos(π/2-2θ)+cos(π/10)} （∵積和公式）
=2sin(π/10)/{sin2θ+cos(π/10)} … (2)
でありπ/10≦θ≦π/4なので
sin2θはθ=π/10のとき最小でθ=π/4のとき最大
よって(2)はθ=π/10のとき最大でθ=π/4のとき最小なので
面積もθ=π/10のとき最大でθ=π/4のとき最小となります。
従って面積は
θ=0〜π/20で増加
θ=π/20〜π/4で減少（θ=π/10のときの面積がθ=0のときの面積と同じ）
となりますので、θ=π/20のとき最大、θ=π/4のとき最小です。
面積の最大値は
sin2α-{sin(3α/2)/{cos(3α/2)+1}}(cosα)^2
=3√(10+2√5)/8-(1+√5)/4
(=3sin2α/2-cosα)
≒0.61756778
最小値は
sin2α/2+{sin(α/2)/{cos(α/2)+1}}(cosα)^2
={2+√5-√(5+2√5)}/2
(={tan(α/4)+1}/2)
≒0.57919222
となります。
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