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517.Re: 周期関数と非周期関数の和  
名前:らすかる    日付:2020年1月28日(火) 21時18分
> x=π/2のとき,f(x)+g(x)=tanx+1は定義されないので,
> 結局のところ,グラフはf(x)+g(x)=tanx(周期関数)のグラフを
> イメージすればよいでしょうか?また,(その他)は(x≠π/2)
> と書いても問題ないですか?(基本的な質問で,すみません)
はい。それで大丈夫です。

ところで、その後もっと普通の例を思いつきました。
(周期関数)+(周期関数)=(非周期関数)の例
(cosx)+cos((√2)x)=(非周期関数)を使えば
f(x)=cosx, g(x)=cos((√2)x)-cosx
とするだけで
(周期関数)+(非周期関数)=(周期関数)
の例が作れますね。

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516.Re: 周期関数と非周期関数の和  
名前:曲線のショコラ    日付:2020年1月28日(火) 20時51分
らすかるさん、またまた、ありがとうございます。

らすかるさんが挙げられた例は,

f(x)=tanx(周期関数)

g(x)=
1 (x=π/2)
0 (その他)

は(非周期関数)

f(x)+g(x)=
tanx+1(x=π/2)
tanx (その他)

x=π/2のとき,f(x)+g(x)=tanx+1は定義されないので,
結局のところ,グラフはf(x)+g(x)=tanx(周期関数)のグラフを
イメージすればよいでしょうか?また,(その他)は(x≠π/2)
と書いても問題ないですか?(基本的な質問で,すみません)

「または」については,具体例まで挙げて頂き,わかりやすく
説明して頂き,ありがとうございました。

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514.Re: 周期関数と非周期関数の和  
名前:らすかる    日付:2020年1月28日(火) 5時12分
周期関数+非周期関数=周期関数の例は
f(x)=tanx
g(x)=
1 (x=π/2)
0 (その他)

> 「周期関数または非周期関数のうち、少なくとも一方になる」
> 「周期関数または非周期関数のうち、どちらか一方になる」
これらはいずれも「周期関数または非周期関数」と同じ意味ですね。
例えば
「1に2を足すと2または3になる」
「1に2を足すと2または3のうち少なくとも一方になる」
「1に2を足すと2または3のうちどちらか一方になる」
これはいずれも正しいですが、2になることはありません。
よって「両方ともあり得る」ことを言いたいのであれば
「周期関数になることもあるし、非周期関数になることもある」
のようにしないとダメでしょう。

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513.Re: 周期関数と非周期関数の和  
名前:曲線のショコラ    日付:2020年1月28日(火) 4時34分
らすかるさん、ありがとうございます。

(2)については

周期関数+非周期関数=周期関数

となる例がまだ思い浮かばないのですが、
どのようなものがあるのでしょうか?

また、「周期関数または非周期関数」については
「周期関数または非周期関数のうち、少なくとも一方になる」
とか
「周期関数または非周期関数のうち、どちらか一方になる」
などと表現すればよいでしょうか?
(社会人/質問者)

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511.Re: 周期関数と非周期関数の和  
名前:らすかる    日付:2020年1月27日(月) 15時39分
(2)も「周期関数または非周期関数」だと思います。
そして結果が「周期関数または非周期関数」ならば例を一つずつ挙げれば
証明したことになります。
ただし「周期関数または非周期関数」というのは「どちらにもなる」という
意味が含まれませんので、書き方として不適切です。
(「周期関数または非周期関数」になるのは証明するまでもなく自明です。)

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510.周期関数と非周期関数の和  
名前:曲線のショコラ    日付:2020年1月27日(月) 11時0分
高校数学の範囲で、周期関数と非周期関数の和について
考察しています。

(1)周期関数+周期関数=周期関数または非周期関数
(2)周期関数+非周期関数=非周期関数
(3)非周期関数+非周期関数=周期関数または非周期関数
となるのかなとグラフ作成ソフトで推測しました。

-------------------------------------------------------------------------------
【質問】
(1)(2)(3)はそれぞれ,一般的に証明することは可能でしょうか?

(1)と(3)は具体例(周期関数になる場合と非周期関数になる場合の例)
を1つ挙げ,それらが周期関数や非周期関数になることを式で示せば証明した
ことになりますか?それとも,もっと一般的に示すべきでしょうか?

高校数学における周期関数は、三角関数の他に
f(x)=x−[x]([ ]はガウス記号)などが思いつきました。
非周期関数は,整関数,分数関数,指数関数,対数関数やいろいろあると
思います。


(2)はずばり証明すべきかなと思いました。

周期関数も非周期関数も種類が様々ですが示すとしたら,
周期関数の定義式f(x)=f(x+p)(p≠0)が
成り立てば,周期関数,成り立たなければ非周期関数などとするのかなと
思いました。

-------------------------------------------------------------------------------
【自分で考えたこと】
(1)(2)(3)の具体例としては,
【(1)の具体例】
(1−A)
f(x)=sinx,g(x)=cosxのとき
f(x)=sinx+cosx(周期関数)

(1−B)
f(x)=sinx,g(x)=cos{(√2)x}のとき
f(x)=sinx+cos{(√2)x}(非周期関数)

【(2)の具体例】
f(x)=sinx,g(x)=xのとき
f(x)=sinx+x(非周期関数)

【(3)の具体例】
(3−A)
f(x)=sinx+x,g(x)=−xのとき
f(x)=sinx+x+(−x)=sinx(周期関数)

(3−B)
f(x)=x^2,g(x)=xのとき
f(x)=x^2+x(非周期関数)

などが挙げられるかと思います。

-----------------------------------------------------------------------------
具体例の証明だけでよいのであれば,次のように考えればよいでしょうか?

(1ーA)は高校で習う三角関数が周期関数であると認めれば、
f(x)=sinx+cosx=(√2)sin(x+π/4)
も周期関数と言えるし,もっと簡単な例として,
f(x)=sinx,g(x)=sinxなども挙げられると思います。

(1−B)は北海道大学の入試問題で,f(x)が周期pの周期関数
であると仮定して,矛盾を導き出せばよい(背理法)ので示せます。

(3−A),(3−B)はグラフをイメージすることができるから明らかだと思いました。
----------------------------------------------------------------------------
(社会人/質問者)

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