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546.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:通りすがり    日付:2020年2月2日(日) 12時52分
秋 さん

最後にします.

> 余弦定理が三角形の成立条件を満たすか示せば良い。

余弦定理は与えられた三角形に対する定理ですので,その議論は無意味です(余弦定理を利用する時点で,三角形の存在を認めることになります).
(回答者)
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545.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:    日付:2020年2月2日(日) 11時31分
>私が問題にしているのは,「存在」です.

余弦定理が三角形の成立条件を満たすか示せば良い。

cosC=(a^2+b^2-c2)/2ab より
-1<cosC<1
-2ab<a^2+b^2-c^2<2ab
である。左側の不等式から
c^2<(a+b)^2
と書ける。よって
c<a+b
である。右側の不等式から
|a-b|<c
と書ける。よって
|a-b|<c<a+b
である。三角形の成立条件を満たすので三角形である。
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543.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:通りすがり    日付:2020年2月2日(日) 2時9分
秋 さん

私が問題にしているのは,「存在」です.

「…の条件を満たすものは直角三角形である」という主張ではありません.

ただ,あまりこの辺りを追及しすぎるのは「藪蛇」であり,厳密さを要求するつもりはありません.

高校までの数学の範囲内ならば,冒頭の「存在」の厳密な証明など到底無理なので

> △A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,A'B'=c',∠C'=π/2 の直角三角形とする。



点 A', B', C' を B'C'=a,A'C'=b,A'B'=c',∠A'C'B' = π/2 を満たすようにとると,△A'B'C'は直角三角形であり…

の様に書くくらいで十分だと考えます.

要は「少なくとも,条件を満たす△A'B'C'が存在することをきちんと主張するような表現にした方がよい」というのが私の意見です.

これ以上の厳密な議論は高校までの数学の範疇を超えますので,私はこの辺りで退散いたします.
(回答者)
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542.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:    日付:2020年2月2日(日) 1時7分
>P: 2 辺の長さが a,b であり,この 2 辺の間の角が直角である直角三角形が存在する.

余弦定理を使うのが良いかと思いますがいかがでしょうか?

余弦定理より
c^2=a^2+b^2-2ab cos C
であるから
cos C = 0
のとき
∠C = π/2
の直角三角形である。
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541.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:通りすがり    日付:2020年2月1日(土) 22時42分
私の不正確な表現のために,混乱させてしまっているようです.申し訳ないです.

> △ABC に対して a^2+b^2=c^2…(1) とする。(a=BC,b=AC,c=AB)
> このとき、
> △A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,∠C'=π/2 の直角三角形とする。
> ここでA'B'=c'とする。
>
> とすべきでしたネ。

そういうことではありません.P, Q, R をそれぞれ次の命題とします.

P: 2 辺の長さが a,b であり,この 2 辺の間の角が直角である直角三角形が存在する.

% ここを 3 辺の長さが a,b,c である直角三角形が存在すると書いてしまったのが,混乱の元凶でした.訂正してお詫び申し上げます.

Q: 三角形 T は 3 辺の長さがそれぞれ a,b,c であり a^2 + b^2 = c^2 が成立する.

R: 三角形 T は直角三角形である.

IT さんが示しているのは

P ⇒ (Q ⇒ R)

です.従って,P が真であることを示さない限り,Q ⇒ R を示したことにはなりません.

おそらく,P については真であることが自明なので省略されたのだろうと推察しますが,それは宜しくないというのが私の主張です.

※ IT さんのアイデアはスマートで素晴らしいと思います.議論全てを否定する意図は全くありません.

私が問題だと考えているのは,IT さんの証明をそのまま忠実に解釈すると,次の「誤証明」と同じことをしてしまっていることになる点です.

--------------------------------
主張: a が実数で a = 1 ならば,a = 2 である.

【証明】a を実数とし,a = 1 と仮定する.x を x = x + 1 を満たす実数とすると,x = x + 1 より

a = a + 0 = a + x + 1 - x = a + 1 = 1 + 1 = 2

である.従って,a = 2 が成立する.
---------------------------------

P: x = x + 1 を満たす実数 x が存在する.

Q: a は実数で a = 1

R: a は実数で a = 2

とすると,上記の議論で示せているのは P ⇒ (Q ⇒ R) であり,Q ⇒ R ではありません.
(回答者)
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540.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:IT    日付:2020年2月1日(土) 18時19分
>> △A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,A'B'=c',∠C'=π/2 の直角三角形とする。

>このような直角三角形の「存在」を示さねば,証明になっていません.
△ABC に対して a^2+b^2=c^2…(1) とする。(a=BC,b=AC,c=AB)
このとき、
△A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,∠C'=π/2 の直角三角形とする。
ここでA'B'=c'とする。

とすべきでしたネ。

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538.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:通りすがり    日付:2020年2月1日(土) 16時34分
横から失礼します.

> △A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,A'B'=c',∠C'=π/2 の直角三角形とする。

このような直角三角形の「存在」を示さねば,証明になっていません.

IT さんが示したのは,

正の実数 a,b,c について,

「3 辺の長さが a,b,c であるような直角三角形が存在する」

  ⇒

 「3 辺の長さが a,b,c の三角形 T について,a^2 + b^2 = c^2 ならば T は c を斜辺とする直角三角形である」

です.
(回答者)
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537.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:    日付:2020年2月1日(土) 1時52分
ピタゴラスの定理に依存しない解析的な証明を考えたいと思い、投稿した証明を考えました。
ただし、三角関数は級数などで定義しないといけなくなります。

ピタゴラスの定理を使ってもよいのであれば、単位円による定義でも理解可能です。
よって高校範囲で理解可能です。

ps
貴台の証明はエレガントです。
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536.Re: ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:IT    日付:2020年2月1日(土) 13時31分
その証明も見てみますが、下記の方が簡単と思いますがどうでしょう。

△ABC に対して a^2+b^2=c^2…(1) とする。(a=BC,b=AC,c=AB)
△A'B'C'を B'C'=a,A'C'=b,A'B'=c',∠C'=π/2 の直角三角形とする。
ピタゴラスの定理よりa^2+b^2=c'^2…(2) 
(1),(2) から c'=c。
よって△A'B'C'≡△ABC。
したがって、△ABC は ∠C = π/2 の直角三角形である。

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521.ピタゴラスの定理の逆の証明  
名前:    日付:2020年1月31日(金) 2時11分
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ピタゴラスの定理の逆の証明を考えてみました。
間違えを教えて下さい。
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