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554.Re: べき乗の和  
名前:みお    日付:2020年2月11日(火) 20時53分
さるさんご返信ありがとうございます。
S(6,n)=S(2,n)・(pS(1,n)^a+qS(1,n)^b+r)の間違いでした。

nに値を入れて地道に係数を比較します。
(高校 2 年/質問者)

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553.Re: べき乗の和  
名前:さる    日付:2020年2月11日(火) 12時53分
S(m,n)を求める場合、(1)が分かったら、S(0,n)=n
からスタートし、(1)でm=1,2,...として、S(1,n),S(2,n),...を求めていくのが普通のやり方かと思います。

各mについて、S(m,n)がnの多項式で表すことが出来ること等も、定義から自明なわけではないし((1)から簡単に示せますが)、例えば、(3)において、実際にp,aを選べばS(3,n)=pS(1,n)^aが成り立つのかどうかも非自明だと思います。S(3,n)が4次式だと分かっても、係数は2つではないので。

ただ、この問題設定の場合、例えば(4)では、
S(6,n)=S(2,n)・(pS(1,n)^a+pS(1,n)^b+r) (右辺にpが二つ出ていますが一つはqですか?)
というように形が指定されているので、具体的なnなどを用いたり、分かっている係数の比較をすれば、p,q,a,b,rは求まるでしょう。

(4)を解くときに、(1)とS(0,n),....S(5,n)の表示を用いてS(6,n)を求めるのに比べたら、上記の方法の方が速いと思います。
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552.べき乗の和  
名前:みお    日付:2020年2月8日(土) 7時16分
mを負でない整数、nを自然数とし、S(m,n)=Σk^m{k=1..n}で定義します。
また、a,bをa>bを満たす自然数、p,q,rを有理数とします。

(1)(n+1)^(m+1)=1+ΣC(m+1,k)・S(k,n){k=0..m)が成り立つことを示せ。
   ただし、C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)とします。
(2)S(3,n)=pS(1,n)^aを満たすとき、a,pの値を求めよ。
(3)S(5,n)=pS(1,n)^a+qS(1,n)^bを満たすとき、a,b,p,qの値を求めよ。
(4)S(6,n)=S(2,n)・(pS(1,n)^a+pS(1,n)^b+r)のとき、a,b,p,q,rの値を求めよ。

(1)は省略します。
(2)と(3)はS(1,i)^2-S(1,i-1)^2とS(1,i)^3-S(1,i-1)^3に対してi=1..nまでの和を取って
   (2)は、(a,p)=(2,1)、(3)は(a,b,p,q)=(3,2,4/3,-1/3)と求まったのですが、
(4)はmが偶数なので同様の方法が取れず、(1)からS(m,n)=の形に変形して、
   S(m,n)はnの(m+1)次式で最高位の係数は1/(m+1)なので
   7=3+2a,1/7=p/3・(1/2)^aからa=2,p=12/7、bはa>bを満たす自然数よりb=1までは
   求まったのですが、qとrが求まらないです。
   n=1とn=2のときの値を代入してqとrの連立方程式を解いて求めることができるのですが、
   もっと簡単に求めることは可能でしょうか?
(高校 2 年/質問者)

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