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56104.Re: 置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:hiyokko2    日付:2017年2月26日(日) 18時42分
確かに定義域についてはarcsinやlogがあるので注意する必要があるとは思っていました。

しかし、質問自体は解決しました。

丁寧に教えていただきありがとうございました!
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56103.Re: 置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:WIZ    日付:2017年2月26日(日) 17時1分
> f(sinx)=sinx+log(arcsin(sinx))+e^(arcsin(sinx))
> =sinx+logx+e^x
> となるので、f(sinx)=sinx+logx+e^xと書くことは適当ではないかもしれませんが可能ということですか?

そうです。

余談ですが、前回の私の書き込みは触れませんでしたが、
使用される関数によっては定義域や値域についての制限を付ける必要が生じます。

t = sin(x)の定義域、つまりxの範囲は全実数です。しかし、値域、つまりtの範囲は閉区間[-1, 1]です。
x = arcsin(t)の定義域、つまりtの範囲はt = sin(x)の値域と一致して閉区間[-1, 1]です。
しかしながら、x = arcsin(t)の値域、つまりxの範囲はt = sin(x)の定義域とは異なり。
例えば閉区間[-π/2, π/2]としなければ(一価)関数とはなりません。

更にlog(x)などを持ち出すなら、x > 0であることが必要ですから、
log(arcsin(sin(x)))の定義域は0 < x = arcsin(sin(x)) ≦ π/2と更に制限を付けなければなりません。

そして、注意すべきは、f(t)の値を常にf(sin(x))で表せる訳ではないということです。
xにどんな実数値を取らせようともsin(x) ≦ 1ですから、f(2)の値をf(sin(x))では表現できないということです。
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56102.Re: 置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:hiyokko2    日付:2017年2月26日(日) 15時41分
なるほど、疑問が氷解しました。

確認ですが、x単独の項を含んでも良いということはほとんどのxの関数もf(sinx)で表せるということでしょうか?

つまりf(x)=sinx+logx+e^xのような式も

f(t)=t+log(arcsin(t))+e^(arcsin(t))と置けば

f(sinx)=sinx+log(arcsin(sinx))+e^(arcsin(sinx))
=sinx+logx+e^x

となるので、f(sinx)=sinx+logx+e^xと書くことは適当ではないかもしれませんが可能ということですか?
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56101.Re: 置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:WIZ    日付:2017年2月26日(日) 15時5分
> これまではf(sinx)は2/(1+sinx)などのsinxの式という認識でした。

上記の認識で正しいと思いますよ。


> f(sinx)は合成関数で、例えばf(x)=2/(1+x)などのxをsinxに置換したものがf(sinx)なのではないか。

「f(x)のx」と「sin(x)のx」は別物なので、
「f(t) = 2/(1+t)などのtをsin(x)に置換したものがf(sin(x))」と表現すべきでしょう。


> またsinx+xはf(sinx)と言えるのか

言えますよ。
t = sin(x)の逆関数を用いれば、x = arcsin(t)です。
t = sin(x)のの両辺のarcsinを取れば、arcsin(t) = arcsin(sin(x)) = xとなることに注意しましょう。
f(t) = t+arcsin(t)とすれば、f(sin(x)) = sin(x)+arcsin(sin(x)) = sin(x)+xとなりますね!


> f(sinx)はsinx+xなどのsinxでないx単独の項を含む関数を除外した関数を表すのでしょうか?

既に示したように逆関数を用いれば、x単独の項を含んでも大丈夫です。
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56100.Re: 置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:hiyokko2    日付:2017年2月26日(日) 14時53分
質問に補足します。

f(sinx)はsinx+xなどのsinxでないx単独の項を含む関数を除外した関数を表すのでしょうか?
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56099.置換積分∫f(sinx)cosxdxのf(sinx)とは  
名前:hiyokko2    日付:2017年2月26日(日) 11時55分
置換積分で出てくる∫f(sinx)cosxdxという式のf(sinx)が何だかわからなくなってしまいました。

これまではf(sinx)は2/(1+sinx)などのsinxの式という認識でした。

しかし他の質問をしているうちにsinxの式という考えは違うのではないかと思ってきました。

よく考えると、

f(sinx)は合成関数で、例えばf(x)=2/(1+x)などのxをsinxに置換したものがf(sinx)なのではないか。

またsinx+xはf(sinx)と言えるのか

などいろいろな疑問が浮かんでいます。

合成関数がちゃんと理解できていないのかもしれません。

f(sinx)がどのような、またはどの範囲の関数を表すのか教えてください。

もしくは合成関数の理解がおかしいのでしょうか。
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