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56110.Re: 三角関数について。  
名前:コルム    日付:2017年2月27日(月) 22時10分
ありがとうございました。
(大学受験生/質問者)

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56109.Re: 三角関数について。  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年2月27日(月) 20時25分
背理法を使うと証明し易いです.ただ,その証明の一部分で数学的帰納法を利用する必要があるため,この点で本問に対して面倒さを感じるかもしれません.以下,解き方の例となります.



[解答例]
tan1°が有理数であると仮定する.この仮定の下で,次の主張

(主張);全ての自然数Nに対して,tanN°は有理数である.

が成り立つことをNに関する数学的帰納法で証明する.N=1の時は,tan1°が有理数であるという仮定により,tan1°は成り立つ.次に,N=k(k≧1)の時にtank°が有理数であると仮定すると,tangentの加法定理により

tan(k+1)°=(tank°+tan1°)/(1-tank°tan1°)

であり,この式の右辺の分数式の分母と分子はともに有理数であるから,この右辺の式は有理数である.よって,tan(k+1)°も有理数である.以上により,Nに関する数学的帰納法によって主張は成り立つ.


今示した主張を使うとtan30°は有理数の筈だが,tan30°=1/√3は無理数であり矛盾が生じる.したがって,元々の仮定が誤りであり,背理法によりtan1°は無理数である.(証明終)
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56108.三角関数について。  
名前:コルム    日付:2017年2月27日(月) 14時24分
tan1°は有理数か。という問題で、これは、背理法を使うのでしょうか?
ご教授いただけると幸いです。
(大学受験生/質問者)

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「56108.三角関数について。」への返信


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