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56131.Re: 調和数について。  
名前:コルム    日付:2017年3月2日(木) 8時10分
ありがとうございました。
(大学受験生/質問者)

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56130.Re: 調和数について。  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年3月2日(木) 1時44分
>完全数の逆数和が2という意味が分かりません。


「偶数の完全数のそれ自身を含まない正の約数たちの逆数の和は2である」ということに関することであれば,次の様に考えればよいです.

[考え方]
Nを偶数の完全数とする.Nの正の約数を小さい順にn_[1](=1),n_[2],...,n_[s-1],n_[s](=N)とすると,

n_[1]+n_[2]+…+n_[s-1]+n_[s]
=(n_[1]+n_[2]+…+n_[s-1])+n_[s]
=N+N
=2N.
∴n_[1]/N+n_[2]/N+…+n_[s]/N=2.…@

ここで,次の事実

(事実):完全数が偶数であるための必要十分条件は,その完全数がある2の冪とあるメルセンヌ素数の積で表されることである.特に,その表示は2^{n-1}(2^n-1)(nはある自然数)の様な式で与えられる.

を用いると「Nの正の約数の個数は偶数である」ということが言える.実際,N=2^{k-1}(2^k-1)(kはある自然数で,2^k-1は素数)の形で表される時,2^{k-1}の正の約数は1,2,...,2^{k-1}のk個,素数2^k-1の正の約数は1,2^k-1の2個である.よって,Nの正の約数は全部で2k個あり,この個数は偶数である.このことに注意すると,

n_[1]n_[s]=n_[2]n_[s-1]=…=n_[s/2]n_[s/2+1]=N.
n_[1]=N/n_[s],n_[2]=N/n_[s-1],...,n_[s]=N/n_[1].

今得られた式を@に代入すると,

1/n_[s]+1/n_[s-1]+…+1/n_[1]=2

が成立する.したがって,示すべき主張の成立が得られた.(証明終)
_________________________________________________________________________________

※証明に用いた事実の証明については,例えば

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0

にある「オイラーの証明」を参考にされるとよいでしょう.
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56126.調和数について。  
名前:コルム    日付:2017年3月1日(水) 22時44分
完全数の逆数和が2という意味が分かりません。
教えていただけないでしょうか?
調和数について詳しく教えていただけないでしょうか?
(大学受験生/質問者)

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「56126.調和数について。」への返信


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