[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS
大学以上の内容は DS 数学 BBS・2(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | サポート ]
名前 一覧
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
添付

 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



56140.Re: 三重大学入試  
名前:IT    日付:2017年3月4日(土) 8時53分
(2) もう一歩ですね
 (√6+√2)/4=(p^2-q^2+r^2)/2pr
 両辺を2乗すると
 (8+4√3)/16=((p^2-q^2+r^2)^2)/(4(p^2)(r^2))
 P,Q,Rが格子点なのでp^2,q^2,r^2は自然数 (ここは証明が必要かも)
 よって右辺は有理数。ところが左辺は無理数なので 矛盾。
---------------------------------------------------------------
# 半径√7の円の内部 という条件は、関係なかったみたいですね。
 最初はあり得るp,q,r の値をすべて調べましたが不要でした。

何年度の問題ですか?
p5122-ipbfp402matsue.shimane.ocn.ne.jp (180.7.92.122)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

56139.Re: 三重大学入試  
名前:X    日付:2017年3月2日(木) 22時31分
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>来年受験生さんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.56137を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。
softbank221030148200.bbtec.net (221.30.148.200)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/56.0.2924.87 Safari/537.36

56138.Re: 三重大学入試  
名前:IT    日付:2017年3月2日(木) 22時26分
X さんへ 途中の
∴1+2^(n-m)=(2p-1)^2 (A)
(pは自然数)
のpはp以外の文字を使うべきと思います。

なお
−−−−−−−−−−−−−−−−−
1+2^(n-m)=q^2 (qは正の奇数) とおける。
2^(n-m)=(q-1)(q+1)
∴q-1,q+1 は2の累乗(1,2,4,8,...)で差が2
∴q-1=2,q+1=4 すなわちq=3
−−−−−−−−−−−−−−−−−
としても同じですね。
p5122-ipbfp402matsue.shimane.ocn.ne.jp (180.7.92.122)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

56137.Re: 三重大学入試  
名前:X    日付:2017年3月2日(木) 22時29分
(1)
p=3・2^k
より
p^2=9・2^(2k)
∴p^2が9を因数をして一つのみ持つことを示す
というより
1+2^(n-m)=9
であることを示す、といった方がいいです。

p^2=(2^m){1+2^(n-m)}
と変形すると、
1+2^(n-m)
は奇数ですので2を因数に持ちません。
∴1+2^(n-m)=(2t-1)^2 (A)
(tは自然数)
と置くことができます。
これより
2^(n-m)=(2t-1)^2-1
2^(n-m)={(2t-1)-1}{(2t-1)+1}
2^(n-m)=4(t-1)t
2^(n-m-2)=(t-1)t (A)'
(A)'より
(t-1)t≠0
ですのでt-1,tは連続する自然数。
又、(A)'の左辺は2のべき乗ですので
(A)'が成立するためには
t=2
以外にあり得ません。
これを(A)に代入して
1+2^(n-m)=9
となります。
softbank221030148200.bbtec.net (221.30.148.200)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/56.0.2924.87 Safari/537.36

56136.三重大学入試  
名前:来年受験生    日付:2017年3月2日(木) 20時33分
三重大学の入試で以下の2問がよくわかりません。
(1)a_n=2^n とする。このとき以下を証明せよ。
ある自然数pについて,自然数m,n(m<n)を用いて
p^2=2^n+2^mと書けるとき、ある自然数を用いて
p=3*2^kと書けることを示せ。

p^2=2^m{1+2^(n-m)}とかけることから
p^2は2の倍数である。よってpは2の倍数である。
これはp^2が4の倍数であることを示しているので
pは2の因数を少なくとも一つ持つことはわかります。
ただ、pが3の因数を1つだけ持つことを示すことができません。
これはやはりp^2が9の因数を1つだけ持つことを示すのでしょうか。

(2)半径√7の円の内部にある格子点を考える。
この格子点のなかから任意の3点P,Q,Rにたいして
∠PQR=15°とはならないことを示せ。

この問題ではひとつ前にcos15°=(√6+√2)/4 であることを示しています。
たぶん背理法を用いて示すのでしょうが、3辺をp,q,rとして余弦定理を用いると
(√6+√2)/4=(p^2-q^2+r^2)/2pr
としてからの変形が思いつきません。このやり方であっているのでしょうか。
以上よろしくお願いします。
(高校 2 年)
softbank126093182161.bbtec.net (126.93.182.161)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.2; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/58.0.3013.3 Safari/537.36


「56136.三重大学入試」への返信


公序良俗に反する投稿は無予告削除対象です。

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb