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56247.Re: 演習6について。  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年3月13日(月) 20時41分
「6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上(三角形ABCの外接円上)にあるならば,点Pは三角形ABCの内心である」ことの証明に関しては,以下の事実を順番に論証することで完成するかと思います.

[論点]
@直線AA'と直線BB'がそれぞれ∠BAC,∠ABCの二等分線である.
A直線AA',BB'の交点をIとし,直線CIと三角形ABCの外接円の交点をC''とする. この時,Iは三角形ABCの内心であり,AC''=BC''である.
B角度に対する簡単な考察により,A'B=A'I=A'C,B'C=B'I=B'A,C''A=C''I=C''Bが成り立つ.この時,C'の定義よりC'=C''である.
C背理法を使うことにより,点Pと点Iは一致する(具体的には,P≠Iと仮定してPが三角形A'BC,B'CA,C'ABの外接円のうちある円上には存在しないことを示し,その結果として矛盾を導く).

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56246.Re: 演習6について。  
名前:らすかる    日付:2017年3月13日(月) 12時44分
>山旅人さん

おそらく私の頭がぼけているだけだと思いますが、
一つわからない点がありますので教えて下さい。
56225で
「C1の円周上にあるA'が△PBCの外接円の中心」
⇒「AA'は∠A の2等分線」
までは納得できるのですが、
ここからなぜ「PがAA'上にある」と言えるのでしょうか。
PがC2の劣弧BC上のどこにあっても
「C1の円周上にあるA'が△PBCの外接円の中心」
⇒「AA'は∠A の2等分線」
は成り立つ気がします。

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56245.Re: 演習6について。  
名前:山旅人    日付:2017年3月13日(月) 12時25分
> 逆も真であることを示す点

言い訳がましいですが,「逆も容易になり立つから」 と書こうと思いつつ,書き落としておりました。

[証明の続き]
図において,P が △ABC の内心のとき,∠ACP=∠BCP() …(3)
∠A'PC=∠A'AC+∠ACP …(4)
∠A'PC=∠A'CP (∵2等辺三角形 A'CP の底角) …(5)
(3)(4)(5)より∠A'AB=∠A'AC=∠A'CB
円周角に相当する角が等しいから,4点 A,B,A',C は同一円周上にある。
逆も成り立つから,題意は証明された。[証了]



「高校入試レベル」 は言い過ぎかもしれませんが,「難所」 というほどでも(!?!)
 
(数学愛好者)

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56236.Re: 演習6について。  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年3月13日(月) 20時6分
>>山旅人様

重箱の隅を突く様なツッコミで申し訳ありませんが,本問で問われていることは「6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるための『必要十分条件』は点Pが三角形ABCの内心に一致すること」であり,山旅人様の与えられた証明は「6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるならば,点Pが三角形ABCの内心に一致する」という命題の証明ですので,本問に関する証明としては不十分な気がします.証明の一部分を提示されたのであれば,私のツッコミは意味のないものですので無視していただいて結構です.


※本問の難所は「6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるならば,点Pが三角形ABCの内心に一致する」という命題の逆も真であることを示す点です.仰る様に「…」の部分を示すのは容易だと私もそう思います.
______________________________________________________________________________________

※本問の難所について

>「6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるならば,点Pが三角形ABCの内心に一致する」という命題の逆も真であることを示す点です

と述べましたが,これはタイプミスです.正しくは「本問の難所は『6点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるならば,点Pが三角形ABCの内心に一致する』という命題を示す点」です.失礼致しました.

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56225.Re: 演習6について。  
名前:山旅人    日付:2017年3月11日(土) 23時55分
だいぶ面倒な模範解答ですが,以下ではダメなのでしょうか…

図において,A' は △PBC の外接円 C2 の中心だから,A' は BC の垂直2等分線上にある。よって△A'BC は2等辺三角形で,∠A'BC=∠A'CB …(1)
また,題意より 4 点 A,B,A',C は △ABC の外接円 C1 上にあるから,円周角の性質より
 ∠BAA'=BCA',∠CAA'=∠CBA' …(2)
(1)(2)より ∠BAA'=∠CAA' で,AA'は∠A の2等分線である。
同様に,P は∠B,∠C の2等分線上にあるから,P は △ABC の内心である。[証了]

高校入試レベルの問題だと思いますが…


 
(数学愛好者)

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56223.Re: 演習6について。  
名前:コルム    日付:2017年3月11日(土) 23時12分
ありがとうございました。
(大学受験生/質問者)

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56222.Re: 演習6について。  
名前:けんけんぱ    日付:2017年3月11日(土) 22時53分
http://www.densu.jp/main09.htm

こちらの解答で理解されてください。

私見ですが、この問題を解くにはまだ基礎が固まっていないように見受けられます。
提示した解答が理解できない場合には、この問題の理解は一旦あきらめて忘れましょう。

また半年後に挑戦すればよいのです。
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56219.演習6について。  
名前:コルム    日付:2017年3月11日(土) 20時0分
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6番の問題がわかりません。ご教授お願いできないでしょうか?
(大学受験生/質問者)

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「56219.演習6について。」への返信


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