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57316.Re: 複素数  
名前:マスマン    日付:2017年9月18日(月) 4時53分
らすかるさん
無事解決致しました。
深夜の質問にも関わらず、素早い対応ありがとうございました。
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57314.Re: 複素数  
名前:らすかる    日付:2017年9月18日(月) 4時29分
@からは a>-1/4
Aからは a≦-1/4
が出てきますので
「@、Aを同時に満たす(s,tが存在する)ようなa」は存在しないということですね。

それと、Aを満たすs,t2組が存在したとしても
2解の虚部は(-1/2)iですから、iとその2解が一直線上に存在しないのは明らかですね。

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57313.Re: 複素数  
名前:マスマン    日付:2017年9月18日(月) 4時14分
s^2=-1/4で実数sが存在しませんね...

Aの条件をもう少し整理すると
t=-1/2かつ
s^2>-1/4-a

解を2つ持つ条件として、
a<-1/4

しかし、この範囲では一直線にならないので不適ですね。(残りの2解が虚軸に関して対象な位置にあるため)
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57312.Re: 複素数  
名前:マスマン    日付:2017年9月18日(月) 4時2分
Aの条件「s^2-t^2-t+a=0かつt=-1/2」
の前半部分に、
a=0,t=-1/2を代入しました
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57311.Re: 複素数  
名前:らすかる    日付:2017年9月18日(月) 3時55分
「s^2=3/4」はどうやって出てきたのですか?
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57310.Re: 複素数  
名前:マスマン    日付:2017年9月18日(月) 3時45分
補足

実際にa=0として考えてみました。
元の方程式は
z^3+z=0で、
その解は0,i,-iで3つです。

この解は、@の条件から得られます。
s=0かつt^2+t=0より、
(s,t)=(0,0)(0,-1)です。

このとき、Aの条件は
t=-1/2かつ
s^2=3/4で、明らかに@と異なる(s,t)が2つ存在します。

ただ、この場合の解
z=-1/2±√3/2は、
元の方程式を満たしません。

どこで間違えてしまったのでしょうか。
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57309.複素数  
名前:マスマン    日付:2017年9月18日(月) 3時34分
問題
aを実数の定数とする。zの方程式
z^3+z+a(z-i)=0
が異なる3つの解を持ち、それらが複素数平面上で一直線上にあるようなaの範囲を求めよ。

自分の解答
z(z^2+1)+a(z-i)=0
z(z+i)(z-i)+a(z-i)=0
(z-i)(z^2+iz+a)=0

より、z=iは1つの解。
以下では、(z^2+iz+a)=0が、
iでない異なる2つの解をもち、
かつその解と、iが一直線上にあるようなaの範囲を考える

(z^2+iz+a)=0
の解を実数s,tを用いて、
s+tiと置く。

このとき、
(s+ti)^2+i(s+ti)+a=0
(s^2-t^2-t+a)+(s+2st)i=0

より、
「s^2-t^2-t+a=0かつs+2st=0」がs,tの満たすべき条件
「s^2-t^2-t+a=0かつs(1+2t)=0」
「s^2-t^2-t+a=0かつ、【s=0または、t=-1/2】」
@「s^2-t^2-t+a=0かつs=0」または
A「s^2-t^2-t+a=0かつt=-1/2」

@に関して
「s=0かつ、t^2+t-a=0」
s=0より、解は虚軸上にある。
よって、題意を満たす解となる条件は、
t≠1かつt^2+t-a=0が異なる2つの解をもつことである。

これをまとめると、a≠2かつ、a>-1/4

さて、a=2のときのAを考える。
このとき、Aは
「s^2=-5/4かつt=-1/2」
で、これを満たす実数sは存在しない。

よって求める条件はa≠2かつ、a>-1/4

これで答えは同じだったのですが、

@、Aが「または」ということは、
@、Aを同時に満たす(s,tが存在する)ようなaを選べばz=iも入れると三次方程式なのに解が5つ存在することになってしまうように思えるのですが、何が間違っているのでしょうか。
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